マルチカットの問題

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名前またはこの問題への参照を探しています。

重み付きグラフが与えられると、頂点のまでの分割を見つけるセットそうカットエッジの値を最大化するように：一部のセットは空にできることに注意してください。したがって、は入力の一部ではないことを除き、問題は本質的に最大kカットです。アルゴリズムは任意のを選択できます $G = (V, E, w)$ $n = |V|$ $S_1,\ldots,S_n$

c （ S_{1} 、 \dots 、 S_{n} ） = \sum_{私 \neq j} （ \sum_{（ あなたは 、 v ） \in E ： あなたは \in S_{私} 、 v \in S_{j}} w （ あなたは 、 v ） ）

$c(S_1,\ldots,S_n) = \sum_{i \ne j}\left(\sum_{(u,v)\in E : u \in S_i, v \in S_j}w(u,v)\right)$

S_{i}

$S_i$

k

$k$

k

$k$ カットエッジの値を最大化するのが好きです。明らかに、エッジの重みが負でない場合、問題は簡単です。単に、すべての頂点を独自のセットに配置し、すべてのエッジをカットします。しかし、物事を面白くするために、負の重みのエッジが許可されています。

これは調査済みの問題ですか？アルゴリズムまたは硬さの結果を参照していただければ幸いです！

— アーロン・ロス
ソース

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問題についてより直感的に理解するために、単純な特殊なケースについて何を知っていますか？たとえば、重みがまたは場合はどうなりますか？どのような場合には完了したグラフであると重みがあり？

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

G

$G$

\pm 1

$\pm 1$

— ユッカスオメラ

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この問題は、相関クラスタリング（CC）Bansal、N.、Blum、A.およびChawla、S.（2004）の変形です。「相関クラスタリング」。Machine Learning Journal（データクラスタリングの理論的進歩に関する特別号、pp。86–113、doi：10.1023 / B：MACH.0000033116.57574.95。

$G$ $(v,w)$ $a(v,w)$ $b(v,w)$ $P$ $c_P(v,w)$ $a(v,w)$ $v$ $w$ $P$ $b(v,w)$ $P$ $V$ $\sum_{v,w} c(v,w)$

$a(v,w)=0$ $b(v,w)$ $O(\log n)$

説明されているPTASは、滑らかな多項式プログラミング手法に基づいています。最も一般的なケースでは、問題がこの手法の要件を満たすとは思いません。

— ジャンルカ・デラ・ヴェドワ
ソース

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参照はわかりませんが、グラフの色付けを減らすことで、NP完全であることを示すことができます。

グラフGとGに色付けする色の数kが与えられたら、新しい頂点がGのすべての頂点に接続されるように、kと新しい頂点で構成される新しいグラフG 'を作成します。 Gの各エッジ、k個の新しい頂点の2つを接続する各エッジへの重み+ kn、k個の新しい頂点をGに接続する各エッジへの重み-1。

次に、Gをk色にすることができる場合、色付けは（新しい頂点のそれぞれを色クラスの1つに割り当てるパーティションと共に）合計重みkn（m + k（k-1）/ 2）-（k -1）n。

逆に、この総重量を達成するパーティションがある場合、Gのすべてのエッジと、新しい頂点のペア間のすべてのエッジをカットする必要があります。Gのすべてのエッジをカットすると、Gのカラーリングが定義されます。また、新しい頂点のペア間でエッジをカットすると、Gの各頂点がk個の新しい頂点の最大1つに隣接できます。したがって、重みで最適な-（k-1）n項を取得するには、Gの各頂点が新しい頂点のちょうど1つに隣接している必要があります。したがって、パーティション。

つまり、指定された重みの境界を持つパーティションは、Gのk色と1対1に対応しているため、これはカラーリングからパーティション問題への削減を定義します。

— デビッド・エップスタイン
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デビッドの素晴らしいNP完全性証明を補足するために、質問に関するコメントでJukkaが尋ねた特別なケースへの参照を追加します。グラフが完全なグラフで、エッジの重みが±1に制限されている場合、問題はクラスター編集として知られるNP完全問題と同等です。

クラスタ編集は、Shamir、Sharan、Tsur [SST04]によって導入された次の問題です。ここで、クラスタグラフとは、頂点が互いに素なクリークの結合であるグラフであり、編集とは、1つのエッジの追加または削除です。

クラスタ編集
インスタンス：AグラフG =（V、E）と整数K ∈ℕ。
質問：最大でk回の編集でGをクラスターグラフに変換することは可能ですか？

クラスタ編集はNP完全です[SST04]。

Cluster Editingが前述の現在の問題の特殊なケースに相当することを確認するには、G =（V、E）をグラフにします。ましょう、N = | V | そして、Gを完全なグラフK _nの部分グラフと見なします。K _nでは、Gのエッジに重み-1を与え、Gにないエッジに重み+1を与えます。次いで、Gは高々によってクラスタグラフに変換することができ、Kの場合編集及びパーティションが存在する場合にのみ、（S ₁、···、S _N）は、そのC（S ₁、...、 $\binom{n}{2}$

[SST04]ロンシャミール、ロッドシャラン、デケルツル。クラスターグラフ変更の問題。 Discrete Applied Mathematics、144（1–2）：173–182、2004年11月。http：//dx.doi.org/10.1016/j.dam.2004.01.007

— 伊藤剛
ソース