カットノルムに関して-nets

実数行列のカットノルムは、すべてのの最大値の量。 $||A||_C$ $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{R}^{n\times n}$ $I \subseteq [n], J \subseteq [n]$ $\left|\sum_{i \in I, j \in J}a_{i,j}\right|$

二つの行列の間の距離を定義とあると $A$ $B$ $d_C(A,B) = ||A-B||_C$

距離空間の最小の -net何ですか？ $\epsilon$ $([0,1]^{n\times n}, d_C)$

つまり、すべてのに対して、が存在するような最小サブセットのサイズそのような。 $S \subset [0,1]^{n\times n}$ $A \in [0,1]^{n\times n}$ $A' \in S$ $d_C(A, A') \leq \epsilon$

（編集：言及するのを忘れていましたが、を使用して、「非適切な」 -netsにも興味があり -つまり、 -netには[0,1]以外のエントリがあり、これも興味深いものです。） $\epsilon$ $S \subset \mathcal{R}_+^{n\times n}$ $\epsilon$

上限と下限の両方に興味があります。

カットスパーシャテクニックは、カットメトリックの -netsを意味しますが、必要以上に強いものを与えることに注意してください-それらは、単にそこからサンプリングするだけで、任意の行列への -closeポイントを効率的に見つけることができる -netを与えますマトリックス。単純にサンプリングできない非常に小さな -net が存在し、任意の行列への -closeポイントを見つけると想像するかもしれません。 $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$

私が最初にこの質問をここ mathoverflowに。

— アーロン・ロス
ソース

AのカットノルムはAの各エントリの絶対値以上であるため、ε-netのサイズは少なくとも（1 /（2ε））^（n ^ 2）でなければならないことは明らかです。カットスパーシャテクニックから得られる上限は何ですか？（これはおそらく馬鹿げた質問ですが、私はそのテクニックを知りません。）

— 伊藤剛

念のため、前のコメントの前半を回答に変えました（それに上限を追加しました）。私はまだカットスパーシファイアテクニックから派生した上限に興味があります。

— 伊藤剛

上記の手法は、

というよりも

。私はそれをポストで言及するのを忘れていましたが、私はこれらの種類の

カバーにも興味があります。

{0, m | | A | |_{1}}

$\{0, m||A||_1\}$

[0, 1]

$[0,1]$

ϵ

$\epsilon$

— アーロンロス

-netあなたがカットsparsificationから取得するには、実際には存在しない

。有向グラフのエッジの確率分布として行列を解釈し、サンプル

分布からエッジ。各エッジに重みを付けます。VC次元の引数（またはカットのユニオンバウンドのみ）により、カットの最大付加誤差はます。したがって、これは、エッジ上の（適切に重み付けされた）グラフのセットが、

ϵ

$\epsilon$

[0, 1]^{n \times n}

$[0,1]^{n×n}$

m = \tilde{O} (n / ϵ^{2})

$m=\tilde{O}(n/\epsilon^2)$

| | A | |_{1} / m

$||A||_1/m$

O (ϵ n^{2})

$O(\epsilon n^2)$

n^{5} / ϵ^{2}

$n^5/\epsilon^2$

ϵ

$\epsilon$ -net、これは重要です。

ϵ > n^{3 / 2}

$\epsilon>n^{3/2}$

— アーロンロス

これは簡単な見積もりです。ここでは、集合呼び出すS ⊆ X ε -net距離空間のXを全てのポイントのときのx ∈ X、ポイントが存在するのは、 ∈ Sの間の距離ということなのxおよびsがあり、最大で ε。ε- net の定義に厳密な不等式が必要な場合は、εの値を少し調整できます。

||それが成り立つ A || _∞ ≤|| A || _C ≤ N ² || A || _∞、ここで|| A || _∞は、n × n行列Aのエントリごとの最大ノルムを示します。

それが構築することが容易であるε距離空間の-netを（[0,1] ^N、D _∞）サイズと⌈1/（2 ε）⌉ ^N、それはこのサイズが最小であることを示すことは困難ではありません。（極小を示し⌈1/（2考慮するε）⌉ ^Nの座標が1 /⌈1/（2の倍数である点εを）-1⌉及びこれらの点のいずれか2つの間の距離が2よりも大きいことを示しε。）N = n ²を設定し、これを前述のカットノルムと最大ノルム間の比較と組み合わせると、εの最小カーディナリティ-netカットノルムに関しては、少なくとも⌈1/（2 ε）⌉ ^{N ²}と多くとも⌈ N ² /（2 ε）⌉ ^{N ²}。

更新：私の計算が正しければ、より適切な下限Ω（n / ε）^{n ²}をvolume引数で取得できます。これを行うには、カットノルムに対するεボールの体積の上限が必要です。

最初に、単一のベクトルの「カットノルム」を検討します。これは、正の要素の合計と負の要素の否定された合計の間の最大値です。体積ことを示すのは難しいではないε ℝで-ball ^nは、この「カットノルム」に対しては同等です

ε^{n} \sum_{I \subseteq {1, \dots, n}} \frac{1}{| I |!} \cdot \frac{1}{(n - | I |)!} = ε^{n} \sum_{r = 0}^{n} (\binom{n}{r}) \frac{1}{r! (n - r)!}

$\varepsilon^n \sum_{I \subseteq \{1,\dotsc,n\}} \frac{1}{|I|!} \cdot \frac{1}{(n-|I|)!} = \varepsilon^n \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} \frac{1}{r!(n-r)!}$

= \frac{ε^{n}}{n!} \sum_{r = 0}^{n} {(\binom{n}{r})}^{2} = \frac{ε^{n}}{n!} (\binom{2 n}{n}) = \frac{(2 n)! ε^{n}}{(n!)^{3}} .

$= \frac{\varepsilon^n}{n!} \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}^2 = \frac{\varepsilon^n}{n!} \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!\varepsilon^n}{(n!)^3}.$

次に、カットノルムので、N × N行列A又は各行のカットノルムの体積に等しいより大きいε ℝで-ball ^{N × N}以下であるn個のボリュームの乗ε -ballℝ中^のn。したがって、[0,1] ⁿ^×^nの ε-ネットのサイズは、少なくとも

\frac{(n!)^{3 n}}{(2 n)!^{n} ε^{n^{2}}} = {(Ω (\frac{n}{ε}))}^{n^{2}},

$\frac{(n!)^{3n}}{(2n)!^n \varepsilon^{n^2}} = \left(\Omega\left(\frac{n}{\varepsilon}\right)\right)^{n^2},$

ここで、最後の等式は、スターリングの式を使用する退屈な計算です：ln n！= n ln n − n + O（log n）。

— 伊藤剛
ソース

質問の編集（改訂4）に応じて、この回答で述べられている下限は、「不適切な」ε-netにも適用されます。

— 伊藤剛

正しく見えますが、うまくできています！

— Hsien-Chih Chang張學之

@ Hsien-Chih：ありがとう。私が最も気に入っている部分は、ℝ^ nのεボールの体積の計算に二項係数を使用することです。

— 伊藤剛

ネットのサイズの下限（ボリュームの上限）を改善できると思います。私は尋ねた、関連する質問を MathOverflowに。

— 伊藤剛