低次元でのユークリッド平方の最大カット

ましょう$x_1, \ldots, x_n$、平面内の点である$\mathbb{R}^2$。点を頂点として、エッジの重みが完全なグラフを考えます。常に総重量の少なくとも\ frac 2 3の重量カットを見つけることができますか？そうでない場合、\ frac 2 3を置き換える定数はどれですか？$\|x_i - x_j\|^2$$\frac 2 3$$\frac 2 3$

私が見つけることができる最悪の例は、正三角形の3点で、\ frac 2 3を達成し$\frac 2 3$ます。ランダムな分割は\ frac 1 2を生成することに注意してください$\frac 1 2$。しかし、低次元では、ランダムよりも優れたクラスタリングができることは直感的に明らかです。

k> 2のmax-k-cutではどうなりますか？次元d> 2はどうですか？そのような質問に答える枠組みはありますか？Cheegerの不等式については知っていますが、それらはスパースカット（最大カットではない）に適用され、通常のグラフでのみ機能します。

（質問は、分散を最小限に抑えるためにコンピューターグラフィックスで光源をクラスタリングする問題に触発されています）。

定数は、次元が増加するにつれて1/2になる傾向があります。d次元では、互いに距離1にd + 1個のポイントがあるため、距離の2乗の合計はあり、最大カットは最大、これは総重量の分数です${d+1 \choose 2}$$(d+1)^2/4$$\frac 12 \cdot \frac {d+1}{d}$

正三角形の3点A、B、Cを取り、中心にさらに3点D、E、Fを追加します。カットの片側にA、B、Cの2つが必要であることは明らかなので、これら3つのポイントのカットは（AB; C）であるとしましょう。ここで、ポイントD、E、Fのそれぞれは、カットのC側に移動する必要があるため、最適なカットは（AB; CDEF）であり、比率は2/3になるように簡単にチェックされます。

次に、各点D、E、Fを中心からわずかに離して、小さな正三角形を形成します。中心を中心に対称であれば、どちらの方向でもかまいません。それらを十分な距離だけ移動する場合、最適なカットは（AB; CDEF）でなければなりません。このカットの長さを考慮してください。エッジ（AC、BC）は、エッジ（AB、BC、AC）の全長の2/3を形成します。対称性により、エッジの全長（AD、AE、AF、BD、BE、BF）はエッジの長さ（AD、AE、AF、BD、BE、BF、CD、CE、CF）の2/3です。 ）。ただし、カットにはエッジ（DE、EF、DF）はありません。したがって、このカットの比率は厳密に2/3未満です。

$(\sqrt{6}-1)/5 \approx .2899$$.6408$$2/3$