MAX CUT近似は耐性がありますか？

CSP最適化問題は、ランダム割り当ての近似係数を打ち負かすことが難しい場合、近似耐性があります。例えば、MAX 3-LINは、ランダム割り当て満たすので耐性の近似値である1 / 2次方程式の画分が、達成近似係数1 / 2 + εであり、N Pの -hard。$NP$$1/2$$1/2+ \epsilon$$NP$

MAX CUTは基本的なコンプリートです。これは、2を法とする線形方程式（x i + x j = 1 mod 2）を解くCSP問題として定式化できます。ランダム割り当ては達成 1 / 2（エッジの総数の-approximation因子| E |）。HaglinとVenkatesanは近似率を達成することを証明した1 / 2 + εがされるN Pはすなわちよりも良好なカットを見つける（-hard | E | /$NP$$x_i + x_j= 1$$1/2$$|E|$$1/2+ \epsilon$$NP$$|E|/2$）。しかし、HastadはMAXカットにapproximableないことが示されたない限り最適なカット内因子P = N P。GoemansとWilliamsonは、0.878近似係数（最適なカット内）を備えたSDPベースの多項式時間アルゴリズムを提供しました。これは、ユニークゲーム予想を想定して最適です。制約の総数（| E |）に関連する近似係数を表現する方がより自然で、MAX 3-LIN問題に使用される規則と一致しているように思えます。$16/17+ \epsilon$$P=NP$$|E|$

制約の数（エッジの数）ではなく、最適なカットのサイズに関連してMAX CUTの近似係数が与えられるのはなぜですか？近似係数が制約の総数（）に関連している場合、MAX CUTは近似耐性があると私は結論付けていますか？$|E|$

アルゴリズムによって満たされる制約の数を制約の総数で割った比として近似を測定する場合、すべての制約充足問題は無条件に近似耐性があります。

定義により、ランダム解の（最悪の場合の）近似比がすべての多項式時間アルゴリズムによって達成された（最悪の場合の）近似比の中で（加法項まで）最良である場合、問題は近似耐性があります。 。$o(1)$

近似比の定義を使用すると、ランダムな割り当てによって（平均で）与えられた比が多かれ少なかれ（最大で項）最適な割り当てによって与えられる比率と同じ。$o(1)$

たとえば、最大カット問題では、個の頂点のクリークは、（$n$の縁、及びに最適なカットカットN2/4のエッジ。最もにあるすべてのアルゴリズムは、すべての多項式時間アルゴリズム、特に、（あなたの定義に従う）最悪の場合の近似値比を有することが、この手段1/2+O（1/N）上のn個の-vertexグラフ。ランダムな割り当ては、比が1/${n \choose 2} = n\cdot (n-1)/2$$n^2/4$$1/2 + O(1/n)$$n$$1/2$ すべてのインスタンスで、ランダムアルゴリズムよりも優れたアルゴリズムはありません。問題は近似耐性があります。