タグ付けされた質問 「cc.complexity-theory」

P対NPおよびその他のリソースに制限された計算。

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NCとPの間の問題：このリストからいくつ解決されましたか？
Greenlaw、Hoover、およびRuzzo （PS） による論文「Pの問題の概要」（PS）（PDF）には、NCにあることが知られておらず、Pに完全でないことがわかっているPの問題のリストがあります。 。（このリストは、KarpとRamachandranによる優れた調査のすべての未解決の問題を包含しています。）未解決の問題のリストは、89ページから始まります。 このリストからいくつの問題が解決されましたか（P-completeまたはNCで示されています）？過去19年間に解決されたものはあまり多くないと思うので、これは（できれば）ビッグリストになってはいけません。 それは私が見つけた最新のリストです。より最新のリストへのポインタも歓迎します！ 編集：アンドラス・サラモンは、同じ著者による教科書があり、リストが少し長いことを指摘しています。これは本のPDFです。未解決の問題は237ページから始まります。
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チューリングマシンを維持ノルム
コンピューティング量子（上の最近のいくつかのスレッドを読んで、ここで、ここでは、とここ）、私はいくつかの種類の電源についての興味深い疑問を覚えて作るノルムマシンを維持します。ℓpℓp\ell_p 量子の複雑性に取り組む複雑性理論で働く人々にとって、偉大な入門テキストは、ここに Joshua Grochowによって投稿されたFortnowの論文です。その論文では、量子チューリング機械は一般化された確率的チューリング機械として提示されています。基本的に、確率的機械は状態持っ下正規化ℓ 1、すなわち、ノルム∥ S ∥ 1 = 1。機械の時間発展は、|| P s ||| 1 = 1 のような確率行列Pの適用によって与えられます。つまり、Pはsssℓ1ℓ1\ell_1∥ の∥1= 1∥s∥1=1\parallel s\parallel_1=1PPP∥ P秒∥1= 1∥Ps∥1=1\parallel Ps\parallel_1=1PPPノルム。時刻における状態に tがある P 、T sは（の左または右乗算ので表記は正確ではないかもしれない Pは場合によって異なり sが行または列ベクトルであるかの行または列 Pは、ノルムを保存する部分空間です）。したがって、この意味では、確率チューリングマシンがある ℓ 1ノルム保存マシンが示さ Mのℓ 1。ℓ1ℓ1\ell_1tttPtsPtsP^tsPPPsssPPPℓ1ℓ1\ell_1Mℓ1Mℓ1M^{\ell_1} 次いで、機械をチューリング量子状態を有すると見なすことができると∥ S ∥ 2 = 1及びユニタリ行列P（ジャムのことℓ 2よう-norms）のP T Sは時刻の状態であるT ∥ P T S ∥ 2 = …
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すべての複雑度クラスには、リーフ言語の特性がありますか？
リーフ言語は、多くの複雑なクラスを均一に定義するための美しい方法です。ほとんどの複雑度クラスは通常、計算モデル（決定論的/ランダム化されたTMなど）とリソースの限界（ログ時間、ポリゴン空間など）によって指定されます。ただし、リーフ言語の定式化では、計算のモデルは1つだけであり、クラスはリーフ言語を指定することで指定されます。 詳細は長すぎて説明できないため、興味のある読者は次の2つの調査のいずれかに誘導します。 H Vollmerによる複雑度クラスの均一な特性化 KWワーグナーによるリーフ言語クラス どちらの調査も、最初の数ページで処方を説明するのに非常に役立ちます。 ワーグナーの調査では、「これまでに検討された実質的にすべての複雑さのクラスは、リーフ言語で記述できることが判明した」と彼は言います。 私の質問はこの声明に関連しています。リーフ言語の特性化が分からないクラスがあることは知っているので、これは、クラスが必ずしもそのような特性化を持っていないか、見つからないことを意味します。 すべての複雑度クラス（PとPSPACEの間など）でリーフ言語の特性化が期待されますか？（「自然な」複雑さのクラスに限定しましょう。）この種の結果は文献にありますか？ （私が答えを知って喜んでいる関連する質問：与えられたクラスのために葉の言語を思い付く（発見的）方法はありますか？） 編集： Sureshは、Wikipediaの記事にリーフ言語の短い定義があることを指摘しています。以下にコピーしています。 通常、いくつかの複雑度クラスは、多項式時間の非決定的チューリングマシンの観点から定義されます。各ブランチは、ブランチの条件の関数として受け入れまたは拒否でき、マシン全体が受け入れまたは拒否します。たとえば、非決定的チューリングマシンは、少なくとも1つのブランチが受け入れた場合に受け入れ、すべてのブランチが拒否した場合にのみ拒否します。一方、非決定論的チューリングマシンは、すべてのブランチが受け入れた場合のみ受け入れ、ブランチが拒否した場合は拒否します。この方法で多くのクラスを定義できます。
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Deolalikarの論文に対するGurvitsのテンソルランクの解釈を説明する
[注：この質問は、Deolalikarの論文の正確性または不正確性に左右されるものではないと考えています。] Scott AaronsonのブログShtetl Optimizedで、Deolalikarの最近のP対NPの試みに関する議論で、Leonid Gurvitsは次のコメントを行いました。 私はアプローチを理解/再定式化しようとしましたが、ここに私の、おそらく非常に最小限の試みがあります：論文の離散確率分布は、テンソルまたは非常に特殊な多重線形多項式と見なすことができます。「P = NP」という仮定は、どういうわけかテンソルランクの（多​​項式？）上限を与えます。そして最後に、既知の確率的結果を使用して、彼は同じランクの非一致（指数関数的）下限を取得します。私が正しい場合、このアプローチは、以前の代数幾何学的アプローチを推進するための非常に賢明な、良い意味で初歩的な方法です。 Deolalikarの証拠の疑わしい/既知の欠陥にもかかわらず、私は興味があります： Deolalikarの論文で議論された分布は、どのようにテンソルと見なされますか？また、彼の結果の記述（正確性に関係なく）は、テンソルランクに関する記述にどのように変換されますか？
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スペース制限のTMおよびオラクル
一般に、オラクルのクエリテープは、TMのスペースの複雑さにカウントされます。ただし、書き込み専用のoracle-tape（Lスペース削減で使用されるものなど）を許可することはもっともらしいようです。 そのような構造は便利ですか？それは特にばかげた結果をもたらしますか？
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ゴーデルの陳述の再帰的な形式は可能ですか？
P / NP問題の自己参照性は、その解決の障壁として強調されることがあります。たとえば、Scott Aaronsonの論文を参照してください。P対NPは形式的に独立していますか？P / NPに対する多くの考えられる解決策の1つは、問題が正式にZFCから独立しているか、または真ではあるが証明不可能であることの実証です。 問題の自己参照性は、例えば、その証明可能性についての文言自体が証明不可能であるか、さもなければ推論することが不可能である場合、独立性の証明においてより深い課題をもたらす可能性があると考えられます。 定理をT Godel_0と呼ぶが、それが真実であるが、ゲーデルの定理の意味で証明できないと仮定する。「T is Godel_0」という文が正しいが、証明できない場合は、T Godel_1を呼び出します。「T is Godel _ {（i-1）}」が当てはまる場合は、T Godel_iを呼び出します。 Godel_0ステートメントが存在し、この記事のようにこの目的のために明示的に構築されていない「野生の」例がいくつかあることがわかっています。 私の質問は、Godel_1以上のステートメントはありますか？そのような記述は、ゲーデルの定理の自然な結果ですか？ 絶対に何も証明できないステートメント、つまり、k > 0 ごとにTがGodel_kであるステートメントについてはどうでしょうか。 正式な独立性について同様の質問をすることができますが、そこでの答えは「ノー」だと思います。 P対NPの質問に戻るために、ゲーデルの定理が階級分離の問題に関連しているというヒントすらあるかどうかを尋ねさせてください。複雑さのクラスに関して、もちろん、問題を止めることとゲーデルの定理の間の明らかな関係を超えて、真実ではあるが証明できない声明が特定されましたか？
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PPADと量子
今日ニューヨークと世界中で、クリストスパパディミトリウの誕生日が祝われます。これは、Christosの複雑性クラスPPAD（およびその他の関連クラス）と量子コンピューターの関係について尋ねる良い機会です。彼の有名な1994年の論文で、 Papadimitriouは、PLS、PPADなどのいくつかの重要な複雑性クラスを紹介し、体系的に研究しました。（Papadimitriouの論文は以前のいくつかの論文に依存しており、特にAviadが述べたように、PLSは1988年にJohnson-Papadimitriou-Yannakakisによって紹介されました。） 私の主な質問は： 量子コンピューターは問題にいくつかの利点をもたらしますか？または ？または？等...PPA DPPADPPADPL SPLSPLSPL S∩ PPA DPLS∩PPADPLS \cap PPAD 別の質問は、PLSとPPADのいくつかの量子類似体、およびChristosの他のクラスがあるかどうかです。 私は、暗号化にPPADの最近の顕著接続はこれらの論文で発見されたことに注意してください：ナッシュ均衡を見つけるの暗号硬度に N Bitansky、Oパネート、A・ローゼンとによって缶PPAD硬度標準の暗号化の前提に基づいていますか？Aローゼン、Gセゲフ、Iシャハフ、そしてナッシュ均衡を見つけることは、アルカライチョドゥーリ、パベルフバセク、チェサンカマス、クルジストフピエトルザク、アロンローゼン、ガイロスブラムによるフィアット-シャミルの破れほど簡単ではありません。また、私の意見では、Christosのクラスは特に数学と数学の証明に近いことにも注意してください。 更新： Ron Rothblumは（FBを介して）Choudhuri、Hubacek、Kamath、Pietrzak、Rosen、およびG. Rothblumの結果はPPADが量子コンピューターの能力をはるかに超えていることを示唆しているとコメントしました。（私はそれを説明する精巧な答えを見て喜んでいます。） もう1つのコメント：関連する素晴らしい質問は、立方体の一意の単一方向でシンクを見つけるのに効率的な量子アルゴリズムがあるかどうかです。（このタスクはよりも簡単だと思いますが、とどのように関連しているかはわかりません。）これは、量子的利点を見つけるための探求に関連していますhttps://cstheory.stackexchange.com/a/767/712。 んnnPL SPLSPLSPPA DPPADPPADL PLPLP お誕生日おめでとう、クリストス！
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#Pの2つの関数による除算
してみましょうFFF、そのようなことを、整数値の関数であるである。ということにしていである？これが常に成り立つとは考えにくい理由はありますか？知っておくべき参考文献はありますか？2F2F2F#P#P\#PFFF#P#P\#P やや意外にも、この状況では機能のために、（はるかに大きい定数で）思い付いた用は古い未解決の問題です。 FFFF∈?#PF∈?#PF \in? \#P 注：私は紙M.荻原、L. Hemachandra、を認識してい実行可能な閉鎖性のための複雑性理論の関連部門ごとの2の問題が研究されている（THM 3.13を参照してください）。ただし、フロア演算子を介してすべての機能の部門を定義するため、問題は異なります。これにより、パリティの問題をいくつか簡単に減らすことができました。
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USTCONNが対数空間を必要とすることを証明する方法は？
USTCONNは、グラフGのソース頂点からターゲット頂点tへのパスがあるかどうかを決定する必要がある問題です。これらのパスはすべて入力の一部として与えられます。ssstttGGG Omer Reingoldは、USTCONNがLにあることを示しました（doi：10.1145 / 1391289.1391291）。この証明は、ジグザグ積によって一定次数のエキスパンダーを構築します。一定次数のエキスパンダーは直径が対数であり、一定数の対数サイズのマーカーを使用してすべての可能なパスを確認できます。 Reingoldの結果は、USTCONNの空間の複雑さの対数上限を与え、論文によると、その空間の複雑さを「一定の係数まで」解決します。論文のどこにも言及されていない、対応する下限に興味があります。 最悪の場合にUSTCONNを決定するには対数空間が必要であることをどのように証明しますか？ 編集：入力表現を修正して、基礎となるN頂点対称単純有向グラフの隣接行列とし、N 2ビット文字列を形成するために行を連続してリストします。N×NN×NN \times NNNNN2N2N^2 LewisとPapadimitriouは（doi：10.1016 / 0304-3975（82）90058-5）USTCONNはSL完全であり、Reingoldの結果ではSL = Lであることを示しました。：Savitchは（DOI示し10.1016 / S0022-0000（70）80006-Xのこと）。さらにDSPACE （F （N ））= DSPACE （1 ）任意の計算可能関数のためのF （N ）= O （ログログN ）NSPACE(n)⊆DSPACE(n2)NSPACE(n)⊆DSPACE(n2)\text{NSPACE}(n) \subseteq \text{DSPACE}(n^2)DSPACE(f(n))=DSPACE(1)DSPACE(f(n))=DSPACE(1)\text{DSPACE}(f(n)) = \text{DSPACE}(1)f(n)=o(loglogn)f(n)=o(log⁡log⁡n)f(n) = o(\log\log n)Stearns、Hartmanis、およびLewis（doi：10.1109 / FOCS.1965.11）により、USTCONNには少なくともスペースが必要です。最後に、Lより下にあることが知られている通常のクラス（NC 1など）は、回路の観点から定義されており、空間限界の観点から定義されたクラスとは明らかに比較できません。Ω(loglogn)Ω(log⁡log⁡n)\Omega(\log\log n)NC1NC1\text{NC}^1 私が見る限り、これにより、いくつかのδ < 1に対して、がΩ （log log n ）空間のみを使用するさらに優れた決定論的アルゴリズムが存在する可能性がありますまたはUSTCONNに対しても非決定性アルゴリズムを使用することO （（ログN ）1 / …
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実数の計算：浮動小数点vs TTE vsドメイン理論vsなど
現在、ほとんどの一般的な言語での実数の計算は、まだ浮動小数点演算を介して行われています。一方、タイプ2有効性（TTE）やドメイン理論などの理論は、実数の正確な計算を長い間約束していました。明らかに、浮動小数点の精度の問題は関連性で低下していません。なぜこれらの理論がより主流にならないのか、そしてなぜそれらのより顕著な実装がないのか？ たとえば、浮動小数点エラーをあまり気にしないアプリケーションのドメインはありますか？複雑さに関する重大な懸念事項はありますか？
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Pの回路の複雑さに関するコルモゴロフの推測に対する/反対の議論
（未検証の）歴史的記述によれば、コルモゴロフはすべての言語が線形回路の複雑さを持っていると考えました。（が線形サイズの回路を持っているという以前の質問Kolmogorovの推測を参照してください。）意味することに注意してください。PP\mathsf{P}PPPP≠NPP≠NP\mathsf{P}\neq \mathsf{NP} しかし、コルモゴロフの予想は失敗すると思われます。たとえば、ライアン・ウィリアムズは最近に書いた紙：「真の場合の予想は、驚くことでしょう言語のために。必要 時、それはこのような問題の複雑さとは考えにくい表示されます単に入力長ごとに異なる回路を設計できるため、サイズに魔法のように縮小します。」PP\mathsf{P}n100100n100100n^{100^{100}}O(n)O(n)O(n) 一方、アンドレイ・コルモゴロフ（1903-1987）は、20世紀の主要な数学者の1人として広く認識されています。彼が完全に不条理な推測を提案したと想像するのはかなり難しい。したがって、それをよりよく理解するために、私は彼の驚くべき推測を実際にサポートするかもしれないいくつかの議論を見つけようとしました。ここに私が考えることができるものがあります： と仮定します。次に、言語L \ in \ mathsf {P}を選択して、Lが均一モデルと非均一モデルの両方で超線形の複雑さを持つようにします。その場合、2つの可能性があります。P⊈SIZE(lin)P⊈SIZE(lin)\mathsf{P}\not\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)L∈PL∈PL\in \mathsf{P}LLL Lを受け入れる既知の 明示的アルゴリズム（チューリングマシン）があります。これから、超線形回路の複雑さを持たなければならない明示的な関数ファミリーを構築できます。しかし、60年以上にわたる回路の熱心な研究でこのような例を見つけることができた人はいないため、これは考えにくいかもしれません。LLL Lの既知の明示的なアルゴリズムはありません。たとえば、その存在は、選択の公理などの非構成的手段によって証明されます。または、明示的なアルゴリズムが存在する場合でも、誰もそれを見つけることができませんでした。ただし、Lの役割を果たすことができる言語の数は無限にあるため、これらすべての言語がこの非友好的な方法で動作する可能性は再びありません。LLLLLL しかし、その後、両方のオプションをありそうもないものとして却下した場合、残っている可能性は、そのようなLLLが存在しないことだけです。これは P⊆SIZE(lin)P⊆SIZE(lin)\mathsf{P}\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)を意味します。これはまさにコルモゴロフの予想です。 質問：コルモゴロフの予想に対する/反対の議論を考えることができますか？
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行列が完全に規則的かどうかを判断する複雑さ
行列は、そのすべての正方部分行列がフルランクの場合、完全に正規と呼ばれます。そのようなマトリックスは、超濃縮器を構築するために使用されました。与えられた行列が合理的に完全に規則的であるかどうかを判断する複雑さは何ですか？有限フィールド上ですか？ より一般的には、最大でk個のサイズのすべての正方部分行列がフルランクである場合、完全に正規の行列を呼び出します。行列とパラメータkが与えられた場合、行列が完全にk正規かどうかを判断する複雑さは何ですか？kkkkkkkkkkkk
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フィードバック頂点セットの問題は、3次の有界グラフの多項式時間で解決可能ですか？
フィードバック頂点セットは、一般的なグラフに対してNP完全です。頂点カバーの削減により、次数8の有界グラフではNP完全であることが知られています。Wikipediaの記事は、それが度-3囲まれたグラフのポリ時間解けるで、度-4囲まれたグラフのNP完全であることを述べています。しかし、私はこれの証拠をどこにも見つけることができませんでした。本当ですか？ 次数dの有界グラフのFVSがNP完全であるような最小dは何ですか？
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を詳細にカウントできますか
深さlg nの多項式サイズ（無制限のファンイン）回路によってビットのしきい値ゲートを計算できますかnnn？あるいは、これらの回路を使用して入力ビットの1の数をカウントできますか？lgnlglgnlg⁡nlg⁡lg⁡n\frac{\lg n}{\lg \lg n} ある？TC0⊆AltTime(O(lgnlglgn),O(lgn))TC0⊆AltTime(O(lg⁡nlg⁡lg⁡n),O(lg⁡n))\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\frac{\lg n}{\lg \lg n}), O(\lg n)) なお、。したがって、本質的には、しきい値ゲートを計算するときに、回路の深さのlg lg n係数を保存できるかどうかが質問されます。TC0⊆NC1=ALogTime=AltTime(O(lgn),O(lgn))TC0⊆NC1=ALogTime=AltTime(O(lg⁡n),O(lg⁡n))\mathsf{TC^0} \subseteq \mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime} = \mathsf{AltTime}(O(\lg n), O(\lg n))lglgnlg⁡lg⁡n\lg \lg n 編集： クリストファーが答えで書いたように、因子を節約できます。しかし、もう少し節約できますか？私たちは、置き換えることができますO （LG Nlglgnlg⁡lg⁡n\lg \lg nwitho（lgnO(lgnlglgn)O(lg⁡nlg⁡lg⁡n)O(\frac{\lg n}{\lg \lg n})？o(lgnlglgn)o(lg⁡nlg⁡lg⁡n)o(\frac{\lg n}{\lg \lg n}) レイヤードブルートフォースのトリックは、（さらに一般的にはlg lg n + ω （1 ）の関数）を保存するためには機能しないように思えます。2lglgn2lg⁡lg⁡n2 \lg \lg nlglgn+ω(1)lg⁡lg⁡n+ω(1)\lg \lg …
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