ゴーデルの陳述の再帰的な形式は可能ですか？

P / NP問題の自己参照性は、その解決の障壁として強調されることがあります。たとえば、Scott Aaronsonの論文を参照してください。P対NPは形式的に独立していますか？P / NPに対する多くの考えられる解決策の1つは、問題が正式にZFCから独立しているか、または真ではあるが証明不可能であることの実証です。

問題の自己参照性は、例えば、その証明可能性についての文言自体が証明不可能であるか、さもなければ推論することが不可能である場合、独立性の証明においてより深い課題をもたらす可能性があると考えられます。

定理をT Godel_0と呼ぶが、それが真実であるが、ゲーデルの定理の意味で証明できないと仮定する。「T is Godel_0」という文が正しいが、証明できない場合は、T Godel_1を呼び出します。「T is Godel _ {（i-1）}」が当てはまる場合は、T Godel_iを呼び出します。

Godel_0ステートメントが存在し、この記事のようにこの目的のために明示的に構築されていない「野生の」例がいくつかあることがわかっています。

私の質問は、Godel_1以上のステートメントはありますか？そのような記述は、ゲーデルの定理の自然な結果ですか？

絶対に何も証明できないステートメント、つまり、k > 0 ごとにTがGodel_kであるステートメントについてはどうでしょうか。

正式な独立性について同様の質問をすることができますが、そこでの答えは「ノー」だと思います。

P対NPの質問に戻るために、ゲーデルの定理が階級分離の問題に関連しているというヒントすらあるかどうかを尋ねさせてください。複雑さのクラスに関して、もちろん、問題を止めることとゲーデルの定理の間の明らかな関係を超えて、真実ではあるが証明できない声明が特定されましたか？

他の人が指摘したように、あなたの質問の声明には特定の技術的な困難があります。それらを真っ直ぐにするために、無条件で「証明不能」という用語の使用を避けることから始め、ステートメントTが証明不能であるはずの公理のセットを明示します。たとえば、1次Peano算術の公理であるPAから証明できないステートメントTに興味があるとします。

最初の厄介な点は、Tが真であるということは、Tarskiの定理による算術の1次言語では表現できないことです。算術ステートメントの真理を定義するのに十分強力なメタ理論で作業することでこれを回避できますが、あなたの目的にとって、これは不必要に複雑なルートだと思います。あなたは真実そのものにそれほど興味がなく、証明可能性に興味があると思います。つまり、Tが真であるがPAで証明できない場合、TをGodel_0であると定義し、PAでTが証明できないが「TがPAで証明できない」場合、TをGodel_1であると定義することに満足すると思います。 TがPAで証明不可能であり、「TがPAで証明不可能」である場合、TをGodel_2として定義することはPAで証明できませんが、「 'T is unprovable in PA' is unprovable in PA's unprovable in PA。」

これはあなたの質問を正確にするのに十分ですが、残念ながらかなり些細な解決策があります。T = "PAは一貫している。" その後、PAは一貫しているためTは真であり、TはGoedelの第2不完全性定理によってPAで証明不可能です。さらに、「TはPAでunprovableで」やや愚かな理由でPAにもunprovableです：任意の形式の文では、「XはPAでunprovableある」「XがPAでunprovableある」ので、PAにunprovableさ自明PAが一貫している「を意味し「（一貫性のないシステムがすべてを証明するため）。したがって、TはすべてnについてGodel_nですが、これはあなたの意図した質問に本当に当てはまりません。

このような些細なことを避けるために質問を「パッチ」しようとすることもできますが、代わりに、私があなたの意図する質問だと思うことを取り上げてみましょう。暗黙のうちに、定理を証明するのに必要な論理的強度と心理的困難を混同していると思いますそれを証明する。つまり、「TはXで証明不能」という形式の結果を、Tが何らかの方法で理解する能力を超えていると解釈します。これらの恐ろしい推測がそこにあります、そして、我々は人間がPA-鞭またはZFC-鞭またはそれらの凶暴な獣であなたを持っているものをクラックして、それらを飼いならそうとします。しかし、「TはXで証明不可能」は「Tを推論することは不可能」を意味すると解釈されるべきではないと思います。むしろ、Tに関する特定の技術的特性、つまりその論理的強度を測定しているだけです。ですから、もしあなたがユーバーモンスターを考え出そうとしているなら、証明不可能なだけでなく、その証明不能性が証明不可能なものを見つけることが正しい方向だとは思いません。

最後に、証明不可能性が複雑性クラスの分離可能性にまったく関係しているかどうかについての質問に関して、特定の有界計算システムでは計算の難しさと証明​​不能性の間にいくつかの関連性があります。これのいくつかは、引用したアーロンソンによる論文で言及されています。CookとNguyenの著書「Logical Foundations of Proof Complexity」も参照してください。

Godel_1の定義についてはよくわかりません。もう少し形式化してみてください。

「T is Godel_0」という式をどのようにエンコードできますか？そのためには、証明の概念を参照せずに、何らかの形で「Tは意味的に正しい」とエンコードする必要があります。どうやってそれができる？

Godel_nステートメントは、nごとに存在します。ジョージブーロスの本、一貫性の不確かさに興味があるかもしれません。彼は、Boxが「証明可能」を意味し、Diamondが「一貫性がある」を意味するモーダルロジックを定義してから、Godelタイプの文の動作を調査します。（彼はフォローアップブック 『Provability of Provability』も書いています。）