理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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n×n×nルービックキューブNPを最適に解くのは難しいですか？
ルービックキューブの明白な一般化を考えてみましょう。与えられたスクランブルキューブを解く動きの最短シーケンスを計算するのはNP困難ですか、それとも多項式時間アルゴリズムはありますか？n × n × nn×n×nn\times n\times n [関連する結果のいくつかは、最近のブログ投稿で説明されています。]
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TCS証明手法のリファレンス
TCSの定理を証明技術で整理して議論する参考文献（オンラインまたは書籍形式）はありますか？ GareyとJohnsonは、NP完全性の証明に必要なさまざまな種類のウィジェット構築のためにこれを行います（特にその本の第3章）。しかし、TCSで証明技術をより広く扱うものはないかと思います。 そのため、たとえば、トピックには対角化が含まれる場合があります。これは、使用される構造のタイプによってさらに分類されます。計算履歴による証明。タブロー構造; 非圧縮性の議論など。計算テキストの標準理論を切り刻んでセクションを並べ替えることができると思いますが、いくつかの追加の解説を提供し、テクニックの共通点があることを示しているものがあれば素晴らしいでしょう中古。 明確にするために、テキストはプルーフを使用するので、私が本当に探しているのは、プルーフ技術自体が実際の主題である参照です。 GareyとJohnsonの第3章に加えて、ここで私が思いついた別の部分的な例があります。LiとVitanyiでは、第6章で非圧縮性の方法について説明し、テクニックの適用方法の例を示します。
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非決定性とランダム性の違いは何ですか？
最近、私はこれを聞いた- 「非決定論的マシンは確率論的マシンと同じではありません。大雑把に言えば、非決定論的マシンは遷移の確率が不明な確率論的マシンです」。 私はポイントを得るかのように感じますが、私は本当にそうではありません。誰かが私にこれを説明できますか（マシンの文脈で、または一般的に）？ 編集1： 明確にするために、引用は有限オートマトンのコンテキストで行われましたが、他の人が答えたように、この質問はチューリングマシンにとっても意味があります。 また、「...その後、セットからオブジェクトxを非決定的に選択します」という人々の声が聞こえます。以前は「ランダムに」という意味だと思っていました。したがって、混乱。
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ソリューションの一意性により見つけやすくなる例
複雑度クラスは、最大で1つの計算パスを受け入れる多項式時間非決定性チューリングマシンによって決定できるN P問題で構成されます。つまり、ソリューションは、この意味でユニークです。すべての可能性は非常に低いと考えられているU Pの -problemsがであるPによってため、ヴァリアント-Vazirani定理これが崩壊暗示N P = R Pを。UPUP\mathsf{UP}NPNP\mathsf{NP}UPUP\mathsf{UP}PP\mathsf{P}NP=RPNP=RP\mathsf{NP}=\mathsf{RP} 一方、問題は -completeであるとは知られていないため、独自のソリューション要件により、さらに簡単になっていることが示唆されます。UPUP\mathsf{UP}NPNP\mathsf{NP} 一意性の仮定がアルゴリズムの高速化につながる例を探しています。 たとえば、グラフに一意の最大クリークがあることがわかっている場合、グラフの問題を見て、グラフの最大クリークをより速く見つけることができますか（おそらく指数関数的な時間で）。一意の彩色性、一意のハミルトニアンパス、一意の最小支配セットなどはどうでしょうか。kkk 一般的に、我々はユニークな解のバージョンを定義することができます任意の にそれらを縮小、-complete問題を。一意性の仮定を追加するとアルゴリズムが高速になることは、それらのいずれかで知られていますか？（それがまだ指数関数のままであることを許可します。）U PNPNP\mathsf{NP}UPUP\mathsf{UP}
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ではNP完全であるが、では扱いやすい幾何学的問題？
で考えるといくつかの幾何学的問題は簡単ですが、ではNP完全（私のお気に入りの問題の1つであるユニットディスクカバーを含む）。R D D ≥ 2R1R1R^1RdRdR^dd≥ 2d≥2d\geq2 誰もがとについてはポリタイムで解けるが、についてはNP完全な問題を知っていますか？ R 2 R D、D ≥ 3R1R1R^1R2R2R^2Rd、d≥ 3Rd,d≥3R^d,d\geq3 より一般的には、についてはNP完全であるが、についてはポリタイムで解ける問題が存在します。ここで？R K - 1つの K ≥ 3RkRkR^kRk − 1Rk−1R^{k-1}K ≥ 3k≥3k\geq3
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ZFCに依存しない理論的CSの結果
理論的なコンピューターサイエンスと数学の境界線は必ずしも簡単に区別できるとは限らないため、かなり曖昧な質問をするつもりです。 質問： CSでZFCに依存しない興味深い結果（つまり、標準集合理論）、またはZFCで最初に証明された（+その他の公理）であり、後にZFC alorneでのみ証明された興味深い結果を知っていますか？ 私は博士論文を終えようとしているので、私の主な結果（確率論的なモーダル -calculusに「ゲームセマンティクス」を与えるために使用されるゲームのクラスの決定性）が証明されているZFCでは、他の公理（つまり、Continuum仮説およびMartinの公理の否定）で拡張されました。μμ\mu¬CH¬CH\neg CH MAMAMA そのため、設定は明らかにコンピューターサイエンスです（モーダル -calculusは時相論理であり、確率システムで動作するように拡張しています）。μμ\mu 私の論文では、この種の他の例（もし知っているなら）を引用したいと思います。 前もって感謝します、 さようなら マッテオ
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ある
多項式階層の最初のレベル（NPおよびco-NP）はPPにあり、ことを知っています。また、戸田の定理からことがわかります。P H ⊆ P P PPP⊆ PSPA CEPP⊆PSPACEPP \subseteq PSPACEPH⊆ PPPPH⊆PPPPH \subseteq P^{PP} PH⊆ PPPH⊆PPPH \subseteq PPPPPPPPPPPPPPPPPPH⊈ PPPH⊈PPPH \nsubseteq PPPP⊈ PHPP⊈PHPP \nsubseteq PH この質問は非常に簡単ですが、それに対処するリソースが見つかりません。 私は尋ねた。このトピックについての詳細学ぶ前に演算オーバーフローに関連するがあまり具体的な質問を。 ここでは、多少関連（しかし異なる）された質問：ある？c o NP＃P= NP＃P= P＃PcoNP#P=NP#P=P#PcoNP^{\#P}=NP^{\#P}=P^{\#P} 更新：ここでNoam Nisanの質問を見てください：PPのPHの詳細？
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理論的なコンピューターサイエンスに必要な公理
この質問は、mathoverflowの応用数学に関する同様の質問に触発されており、P対NPなどのTCSの重要な質問はZFC（または他のシステム）から独立している可能性があると考えていました。少しの背景として、逆数学は、特定の重要な定理を証明するために必要な公理を見つけるプロジェクトです。言い換えれば、真であると予想される定理のセットから始め、それを実現する「自然な」公理の最小セットを導き出そうとします。 TCSの重要な定理に逆数学アプローチが適用されているかどうか疑問に思っていました。特に複雑性理論に。TCSの多くの未解決の質問にデッドロックがあるため、「使用したことがない公理は何か」と尋ねるのは自然なことです。あるいは、TCSの重要な質問は、2次算術の特定の単純なサブシステムに依存しないことが示されていますか？
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平方根の困難な問題？
平方根の和問題は、2つの配列が与えられると、求められ及び正の整数の和か\ sum_i \ SQRT {a_iを}未満では、等しい、またはそれ以上和より\ sum_i \ SQRT {b_i} 。この問題の複雑さの状態は未解決です。詳細については、この投稿を参照してください。この問題は、計算幾何学、特にユークリッドの最短パスを含む問題で自然に発生し、これらの問題のアルゴリズムを実際のRAMから標準整数RAMに転送する際の大きな障害です。a1,a2,…,ana1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_nb1,b2,…,bnb1,b2,…,bnb_1, b_2, \dots, b_n∑iai−−√∑iai\sum_i \sqrt{a_i}∑ibi−−√∑ibi\sum_i \sqrt{b_i} 平方根の問題からtoへの多項式時間の縮約がある場合、問題square平方根の困難（Σ√-hard？と省略）を呼び出します。次の問題が平方根の困難であることを証明するのは難しくありません。 4Dユークリッド幾何グラフの最短経路 インスタンス：頂点が\ mathbb {Z} ^ 4の点であり、エッジがユークリッド距離で重み付けされたグラフG =（V、E）。2つの頂点sおよびtG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)Z4Z4\mathbb{Z}^4sssttt 出力：から最短経路sssにtttにおけるGGG。 もちろん、この問題はダイクストラのアルゴリズムを使用して実RAM上で多項式時間で解くことができますが、そのアルゴリズムの各比較には平方根の問題を解く必要があります。削減では、任意の整数が4つの完全な二乗の合計として記述できるという事実を使用します。リダクションの出力は、実際には頂点のサイクルです。2n+22n+22n+2 平方根の和が難しい他の問題は何ですか？ 特に、実際のRAMに多項式時間解がある問題に興味があります。1つの可能性については、前の質問を参照してください 。 ロビンが示唆するように、退屈な答えは退屈です。平方根の合計（PSPACEやEXPTIMEなど）を含む複雑度クラスXの場合、すべてのX-hard問題は退屈な平方根の合計困難です。
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オートマトン理論はどれほど実用的ですか？
理論的なコンピューターサイエンスに関連するトピックには、常に応用方法があります。しかし、教科書や学部課程では、通常、オートマトン理論が重要なトピックである理由と、実際に応用できるかどうかを説明していません。したがって、学部生はオートマトン理論の重要性を理解するのに苦労し、もはや実用的ではないと考えるかもしれません。 オートマトン理論は実際にはまだ有用ですか？ 学部のCSカリキュラムの一部であるべきですか？
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趣味として研究をしたい人に何を勧めますか？
暇なときにTCSをするのが大好きです。最近、私は趣味としていくつかの研究をしようとしています。私はこのフルタイムをする人々からいくつかの追加の入力を探しています：-あなたは、これを「楽しみのために」することが可能であると思いますか？私は博士号を取得するつもりはありません。-どのリソースをお勧めしますか？
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有限VC次元でのヒッティングセットのパラメーター化された複雑さ
私は、d次元のヒッティングセット問題と呼ばれるもののパラメーター化された複雑さに興味があります。正の整数k、XにはRのすべての範囲にヒットするサイズkのサブセットが含まれていますか？問題のパラメーター化されたバージョンは、kによってパラメーター化されます。 dのどの値に対してd次元ヒッティングセット問題 FPTで？ W [1]で？ W [1] -hard？ W [2] -hard？ 私が知っていることは、次のように要約することができます： 1次元ヒッティングセットはPにあり、したがってFPTにあります。Sの次元が1である場合、サイズ2のヒットセットがあるか、Sの入射行列が完全に均衡していることを示すことは難しくありません。どちらの場合でも、多項式時間で最小ヒットセットを見つけることができます。 4次元ヒッティングセットはW [1] -hardです。Dom、Fellows、およびRosamond [PDF]は、軸平行線でR ^ 2の軸平行長方形を突き刺す問題のW [1]硬度を証明しました。これは、VC次元4の範囲空間でヒッティングセットとして定式化できます。 dに制限がない場合、W [2] -completeおよびNP-completeである標準的なHitting Set問題があります。 LangermanとMorin [citeseer link]は、制限された次元のSet CoverにFPTアルゴリズムを提供しますが、それらの有界次元モデルは有界VC次元で定義されたモデルと同じではありません。彼らのモデルには、例えば、ポイントで半空間をヒットする問題は含まれていないようですが、モデルのプロトタイプ問題は、超平面をポイントでヒットすることと同等です。
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DOES意味するものでは？
私が理解している限り、幾何学的複雑性理論プログラムは、複雑な値の行列のパーマメントが行列式よりも計算がはるかに難しいことを証明することにより、を分離しようとします。VP≠ VNPVP≠VNPVP \neq VNP GCT論文をざっと読んだ後の質問：これはすぐに意味するのでしょうか、それとも単にこの目標に向けた大きな一歩ですか？P≠ NPP≠NPP \neq NP
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グリッド
アップデート：閉塞セット（着色可能とuncolorableグリッドサイズ間すなわちN×Mの「障壁」）の全ての単色矩形フリー4 -着色のためには、現在されて知られています。 誰もが5色を試してみませんか？;） 次の質問はラムジー理論から生じます。 n行m列のグリッドグラフの色を考えてみましょう。A は、同じ色の4つのセルが長方形の角として配置されるたびに存在します。例えば、（0 、0 ）、（0 、1 ）、（1 、1 ）、及び（1 、0 ）、それらが同じ色を有する場合単色矩形を形成します。同様に、（2 、2 ）、（2 、6 ）、kkknnnmmmmonochromatic rectangle(0,0),(0,1),(1,1),(0,0),(0,1),(1,1),(0,0), (0,1), (1,1),(1,0)(1,0)(1,0)及び（3 、2 ）同じ色で着色場合、モノクロ矩形を形成します。(2,2),(2,6),(3,6),(2,2),(2,6),(3,6),(2,2), (2,6), (3,6),(3,2)(3,2)(3,2) 質問：単色の長方形を含まない17行17列のグリッドグラフに色がありますか？その場合、明示的な色付けを提供します。444171717171717 既知の事実： 行列 17である 4単色矩形なし-colorableが、公知の着色スキームはに延びるように表示されない 17行列 17ケース。（ 17 x 17を決定するための赤いニシンである可能性が高いため、既知の 16 x 17のカラーリングは省略しています。） 161616171717 444171717171717161616171717171717171717行列 19であるNOT 4単色矩形なし-colorable。 181818191919 444 x 18および 18 x 18も不明なケースです。これらへの回答も興味深いでしょう。 171717181818181818181818 …
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知っていることをいつ言うべきですか？
あなたが現在の研究プロジェクトの一部として検討しているので、あなたが公の場で提起された質問、スタック交換に関してここで言って、あなたがへの答えを知っているとき、あなたは何をすべきですか？ たとえば、最近問題に取り組んだため、答えがわかっているTCS.SXの質問が表示されます。私はまだ結果を書き終えておらず、許容できる論文を作成するためにさらにいくつかの結果を得ようとしています。 質問者に直接連絡する必要がありますか？サイトに回答を公開して、クレジットを公に主張しますか？私は何をすべきか？
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