ZFCに依存しない理論的CSの結果

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理論的なコンピューターサイエンスと数学の境界線は必ずしも簡単に区別できるとは限らないため、かなり曖昧な質問をするつもりです。

質問： CSでZFCに依存しない興味深い結果（つまり、標準集合理論）、またはZFCで最初に証明された（+その他の公理）であり、後にZFC alorneでのみ証明された興味深い結果を知っていますか？

私は博士論文を終えようとしているので、私の主な結果（確率論的なモーダル -calculusに「ゲームセマンティクス」を与えるために使用されるゲームのクラスの決定性）が証明されているZFCでは、他の公理（つまり、Continuum仮説およびMartinの公理の否定）で拡張されました。 $\mu$ $\neg CH$ $MA$

そのため、設定は明らかにコンピューターサイエンスです（モーダル -calculusは時相論理であり、確率システムで動作するように拡張しています）。 $\mu$

私の論文では、この種の他の例（もし知っているなら）を引用したいと思います。

前もって感謝します、

さようなら

マッテオ

reference-request lo.logic set-theory

— IamMeeoh
ソース

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これらの以前の質問は役に立つかもしれません：cstheory.stackexchange.com/questions/4816/...の cstheory.stackexchange.com/questions/1923/...

— マーク・Reitblatt

9

私は...マッテオ澪とアレックス・シンプソンは、非常に興味深い結果を証明するためにマーティンの公理を使用することを答えるつもりだった

— アンドレイ・バウアー

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これは、質問の中で最良の回答が含まれている質問の私が見た中で最高の例かもしれません！あなたの非常に興味深い結果を知りませんでした。

— ティモシーチャウ

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私はあなた自身のもの以外のそのような結果を知りませんが、私はあなたが範囲をいくらか広げて尋ねることができると思います：TCSのどの結果が（あらゆる種類の）非標準公理を使って証明されましたか？ここで非標準とは、ZF（またはZFC）を使用した古典的なロジック以外のものを意味します。

私が念頭に置いている仕事の種類の美しい例は、合成領域理論を使用したプログラミング言語の特性に関するAlex Simpsonの結果です。彼は古典的な論理と矛盾する公理を持つ直観主義的な集合論を使用しています。

また、アレックスと私は、直観主義的な公理と反古典的連続性原理を使用して、バナッハ・マズールの計算可能性に関する結果を示しました。

ただし、使用した非標準公理は、モデルが存在することを示すことができる直観主義数学のモデル内で動作していると単純に理解できるため、前述の例はいずれも証明などの「オープン」ステータスを持ちません。 ZFCで。したがって、非標準のセットアップは、実際に物事をよりエレガントに行う方法であり、原則としてストレートZFCで行うことができます（ただし、それがどのようになるかについて考えるのは怖いですが）。

— アンドレイ・バウアー
ソース

ありがとうございました！紹介を書くときに、これについてアレックスに詳細を尋ねます。

— IamMeeoh

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「コンピューターサイエンス」の定義に依存します。以下の例をご覧ください-カウントされますか？

A 整数のコードは、の一意復号可能なバイナリコードである。コードワードの長さが減少しない場合、コードmonotoneを呼び出します。コードあり、より良いコードよりもの場合。言い換えれば、すべてのについて、のコードワードのあるポイントから少なくともビット短くなります。 $\mathbb{N}$ $C_1$ $C_2$ $|C_1(n)| - |C_2(n)| \rightarrow -\infty$ $L$ $C_1$ $L$

コードのセット呼び出されcofinalすべてのコードのためにあればコードがあるよりも良好である。「より良い」という点で適切に整理されていれば、それは適切に整理されています。スケールはコードの秩序だったcofinalセットです。 $S$ $C$ $D \in S$ $C$

ZFCに依存しない2つのプロパティを次に示します。

コードのスケールが存在します。
モノトーンコードのスケールが存在します（つまり、すべてのモノトーンコードのセットで共終である、順序の整ったモノトーンコードのセット）。

— ユヴァル・フィルマス
ソース

こんにちはユヴァル、答えてくれてありがとう。あなたの例が私の定義「コンピューターサイエンス」に適合するかどうかはわかりません。「コード」について話すだけでは、CSとして分類するには不十分です。論文を「CS論文」とする理由は次のとおりです。CS会議/ジャーナルに掲載されたのか、それともCS会議/ジャーナルの結果を証明するために使用されたのですか？CSペーパーでは非常に柔軟性がありますが、トピックは「情報理論、複雑さ、プログラム/システムロジック、再帰理論」などです。コードの」？ありがとう！さようなら

— IamMeeoh

1

整数のコードに関する論文は、情報理論に関するIEEEトランザクションなどの電気工学ジャーナルに掲載されています。キーワードの1つにヒットします。

— ユヴァルフィルマス

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これらの結果を使用した論文はないと思います。さらに、ZFCに依存しない結果は複雑さには役に立たないと強く信じているので、ある意味であなたの質問は、コンピューターサイエンスと見なされるものの限界を広げることに関するものです。

— ユヴァルフィルマス

1

こんにちはユヴァル、まず第一に答えてくれてありがとう。しかし、あなたの強い立場に同意しません。たとえば、ロバートソン-シーモアの定理（選択が必要と思われる）は、複雑さにおいて重要な結果をもたらします。したがって、Choiceity理論では、Choiceが（おそらく少し驚くほど）役に立つことが明らかです。ZFCの一貫した拡張機能を使用することで、ZFCで結果を証明できるかもしれないが、結果が誰にもわからない場合でも、結果を証明する作業を単純化します。

— IamMeeoh

1

さらに、Robertson-Seymourの定理が（おそらく）ZFから独立しているのと同じように、ZFCから独立した複雑さにおいて具体的な結果が得られない理由がわかりません。

— IamMeeoh

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錐チューリング度が設定されているいくつかの塩基と度のように、すべての度のために、の場合に限り。 $D$ $b \in D$ $c$ $b \leq_T c$ $c \in D$

チューリング次数決定性のステートメント：

チューリング度のすべてのセットには、コーンが含まれているか、コーンから切り離されています

ZFから独立しており、ZFCと互換性がない決定性の公理（AD）の結果です。弱い声明

チューリングの等価性の下で閉じられているすべてのボレルの実数は、円錐を含んでいるか、円錐から分離しています

ZFCで証明可能なBorelの決定性に関するMartinの定理の結果です。これらのステートメントは両方とも、Borelの決定性に関するMartinの結果が証明される前に研究されました。その時点では、ZF + ADで両方とも証明可能であることがわかっていました。

$S$ $b$ $c \in S$ $b \leq_T c$ $S$ $S$

— カール・ムンメルト
ソース

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私は最近、1カウンターBüchiゲームの決定性について、そのような結果のある講演に参加しました。OlivierFinkel、コンテキストのないゲームの決定性、STACS 2012、http： //drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2012/ 3389 / PDF / 5.pdf。

— シルヴァン
ソース

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多くの建設的な数学。依存型のプログラミング言語の基礎として使用される建設的集合論に関するPerMartin-Löfの研究を参照してください。

— ロブ
ソース

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IIRC、Martin-Lof型理論は、Kripke-Platek集合理論と同じ整合性強度を持ち、ZFCよりも非常に弱いです。また、MLTTには、Andrejが述べた連続性の公理のように、明示的に反古典主義の原則はありません。

— ニールクリシュナスワミ

@Neel MLTTの一貫性や強度については何も言っていません。しかし、「ZFCに依存しない... CSの興味深い結果」を求めて、建設的な数学のいくつかの結果が質問に関連すると考えています。

— ロブ

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ここでの「独立した」とは、正式な意味を意味していると思います。

— マークReitblatt