n×n×nルービックキューブNPを最適に解くのは難しいですか？

ルービックキューブの明白な一般化を考えてみましょう。与えられたスクランブルキューブを解く動きの最短シーケンスを計算するのはNP困難ですか、それとも多項式時間アルゴリズムはありますか？ $n\times n\times n$

[関連する結果のいくつかは、最近のブログ投稿で説明されています。]

— ジェフス
ソース

入力は、{1、…、6}で構成される6つのn×nグリッドとして与えられると思います。NPに問題はありますか？ルービックキューブのn×n×nバージョンの移動数に簡単な多項式の上限はありますか？

— 伊藤剛

情報のおかげで。参照はありますか？

— 伊藤剛

「構成を与え、最大で神の数（n、n、n）の移動を必要とする解決策を作成する」と緩和された場合、問題は簡単になりますか？それがルービックのソリューションアルゴリズムがしたことです。時間がかかりすぎたため、彼らは最短を探しませんでした。

— アーロンスターリング

到達可能な構成空間の直径が

であることを知っていますか？

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— アンディドラッカー

@アンディ：いい質問です！（「nの神の機能とは？」）

— ジェフ

回答:

私の論文の1つが arXivに投稿されたばかりで、この質問に対処しています。ルービックキューブの最適な解決はNP完全です。

— ミハイル・ルドーイ
ソース

おめでとうございます!!

— ジェフ

Demaine、Demaine、Eisenstat、Lubiw、およびWinslowによる新しい論文は、この質問について部分的な進歩を遂げています--- キューブを最適に解くための多項式時間アルゴリズムを提供し、を示します-「部分的に着色された」キューブと呼ばれるものを最適に解決するための硬度。また、キューブの構成空間の直径がことも示してい。 $n \times O(1) \times O(1)$ $\mathsf{NP}$ $n \times n \times n$ $\Theta(n^2/\log n)$

甘い！

彼らの仕事が示唆していると思われる次の質問の1つ：特定の構成から最適に解くことがハードであるように、各値に1つずつ、部分的に色付けされたキューブの固定ファミリがありますか？ $n \times n \times n$ $n$ $\mathsf{NP}$

— アンディ・ドラッカー
ソース

n \times n \times n

$n \times n \times n$

Ω (n^{2} / \log n)

$\Omega(n^2/\log n)$

これには簡単にバグがある可能性がありますので、見つけたら教えてください。

答えはノー、または少なくともこの問題はNPに含まれているようです。この背後にある理由は非常に簡単です。考え方は、「Sステップ以下で構成Aと構成Bの間を移動できますか？」という別の質問から構築することです。

$O(n^2)$ $O(n^2)$

$S$

$B_{hard}$ $n_{hard} \approx n^2$ $B_{hard}$ $S'$ $B_{hard}$ $n_{hard}$ $B_{hard}$ $S'$ $n_{hard} - S'$ $n \times n \times n$

$n_{hard} - S'$ $S$ $S_0$ $S' = n_{hard} - S_0$ $S = S_0$ ）、このソリューションが最適であることを目撃しています（境界に関連する2つのNP問題の目撃者で構成されています）。

$B_{hard}$ $O(n^2)$

$n_{hard}$ $n_{hard} = \mbox{God's number}(n)$

$B_{hard}$ $n_{hard} = \mbox{God's number}(n)$

— ジョー・フィッツシモンズ
ソース

きちんとしたアイデア。ただし、これは、遠く離れた2つのポイント間の最短パスが他のポイントを通過するために使用できると想定していません。それは球体上のポイントには明らかに当てはまります（北極から南極に飛んでいるなら、タヒチ経由で飛ぶかもしれません）が、ルービックキューブの構成に当てはまる理由はありますか？

— ピーターショー

B_{h a r d}

$B_{hard}$

n_{h a r d}

$n_{hard}$

B_{h a r d}

$B_{hard}$

A

$A$

B_{h a r d}

$B_{hard}$

B_{h a r d}

$B_{hard}$

n_{h a r d}

$n_{hard}$

B_{h a r d}

$B_{hard}$

B_{h a r d}

$B_{hard}$

n_{h a r d}

$n_{hard}$

n_{h a r d} - S^{'} \leq S_{0} \leq n_{h a r d} + S^{'}

$n_{hard}-S' \leq S_0 \leq n_{hard} + S'$

S_{0}

$S_0$

S_{0}

$S_0$

_{h a r d}

$_\mathrm{hard}$

@ジョー：考え抜かれた答えを投稿することを心配しないでください。私は同じことをしました（そして、私だけではありません）。そして、私はこのアプローチが完全に価値がないとは確信していません。正確な距離がNP困難ではないことを示すことは機能しませんが、それを近似することについて何か言うことができるかもしれません。

— ピーターショー