理論的なコンピューターサイエンスに必要な公理

この質問は、mathoverflowの応用数学に関する同様の質問に触発されており、P対NPなどのTCSの重要な質問はZFC（または他のシステム）から独立している可能性があると考えていました。少しの背景として、逆数学は、特定の重要な定理を証明するために必要な公理を見つけるプロジェクトです。言い換えれば、真であると予想される定理のセットから始め、それを実現する「自然な」公理の最小セットを導き出そうとします。

TCSの重要な定理に逆数学アプローチが適用されているかどうか疑問に思っていました。特に複雑性理論に。TCSの多くの未解決の質問にデッドロックがあるため、「使用したことがない公理は何か」と尋ねるのは自然なことです。あるいは、TCSの重要な質問は、2次算術の特定の単純なサブシステムに依存しないことが示されていますか？

cc.complexity-theory lo.logic proof-complexity

— アルテム・カズナチェフ
ソース

独立ではないかもしれない二つの可能な公理：1）3-SAT必要と

時間。2）与えられた充足3SAT式、最大ですべての効率的なアルゴリズムを満足

節の-fraction。また、2つの等しいサイズの素数の乗算を反転するのは困難です（効率的に）。

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

7 / 8

$7/8$

— モハマッドアルトルコ

この論文は関連性があります：ハリー・バースマン、ランス・フォートノウ、リーン・トーレンブリート、「定理を求めた6つの仮説」、CCC、pp.2、第12回計算複雑性に関するIEEE会議（CCC'97）、1997年

— モハマッド・アル・トルコ

次の質問が関連しています：cstheory.stackexchange.com/questions/1923/…TCSのほとんどはRCA_0で形式化できます。グラフのマイナー定理はまれな例外です。ニールが強調するように、新しいアイデアが必要な場合は、新しいアイデアを探してください。新しい公理を探さないでください。2つはまったく同じではありません。

— ティモシーチャウ

や

ステートメントのような結果が記載されている理由がわかりません。私の最初のTCS講義では、自然数とその基本的な機能から始めました。残りは続きます。どうやら私は質問を理解していないようです。

P

$P$

N P

$NP$

— ラファエル

私はこれに気付いたばかりですが、リプトンはこの投稿で同様の質問をしたようです：rjlipton.wordpress.com/2011/02/03/…、引用するために：「私たちが持っているPAをはるかに超えるアイデアを含む証明技術があるのだろうか使用されていないため、重要な問題のいくつかを解決するのに役立ちます。大学院生に、PAを超えた数学の分野の方法を教えるべきでしょうか？」（PA =ペアノ算術）

— アルテムKaznatcheev

回答:

はい、トピックは証明の複雑さで研究されています。Bounded Reverse Mathematicsと呼ばれます。いくつかの逆数学の結果を含む表は、クックとグエンの本、「論理的基盤の証明の複雑さ」、2010年のページ8にあります。スティーブクックの以前の学生の一部は、例えば、グエンの論文、「Bounded Reverse Mathematics」、トロント大学、2008年。

アレクサンダー・ラズボロフ（他の証明複雑性理論家）は、回路複雑性手法を形式化し、回路複雑性の下限を証明するために必要な弱い理論についていくつかの結果を持っています。彼は弱い理論に対していくつかの証明不能な結果を得るが、理論は弱すぎると考えられている。

これらの結果はすべて（逆数学のシンプソンの基礎理論）で証明可能であるため、AFEIKには強力な理論からの独立性の結果はありません（実際、このような独立性の結果は、ニールが述べたように強い結果をもたらします、ベンを参照してください独立に-Davidの仕事（および関連する結果）からの延長であります $RCA_0$ $\mathbf{P} vs. \mathbf{NP}$ $PA_1$ $PA_1$ ）。 $PA$

— カベ
ソース

このような独立性の結果は大きなブレークスルーとなりますが、すぐに強い結果をもたらすとは思いません。ニールの答えに対する私のコメントをご覧ください。

— ティモシーチャウ

@ティム、ありがとう、あなたは正しいです、私は私の答えを修正しました。それはない

それは、

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$ 、

はすべての真の普遍的な算術文で拡張されています。Ben-Davidは、質問がこの強力な理論から独立している場合、SATはほぼ多項式時間アルゴリズムを持っていると主張します。したがって、仮定は（はるかに）強力ですが、最終的な主張は同じです。（からの独立性を証明する、現在知られている方法

からも独立性を意味するであろう

）

P A

$PA$

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$

— Kaveh

最後の質問に対する肯定的な答えとして、構造の計算などの多相ラムダ計算の正規化の証明には、少なくとも高次の算術演算が必要であり、より強力なシステム（帰納的構造の計算など）はZFCと数え切れないほど多くのアクセス不能と同等です。

最後の質問に対する否定的な答えとして、Ben-DavidとHaleviは、がから独立している場合、すべての普遍的な算術真理の公理で拡張されたPeano算術は、ほぼ多項式アルゴリズム $P \not= NP$ $PA_1$ SATの。さらに、独立している文を生成するために現在知られていない方法が存在するなく、 $DTIME(n^{\log^{*}(n)})$ $PA$ $PA_1$ 。

より哲学的には、一貫性の強さを抽象化の強さと同一視する間違いをしないでください。

主題を整理する正しい方法には、一貫性の強さの点で厳密に必要ではないかもしれませんが、明らかに野生の集合論的原理が含まれる場合があります。たとえば、強い収集原理は、均一性の特性を示すのに非常に役立ちます。たとえば、カテゴリ理論家は、すべてのグループのカテゴリなどをオブジェクトのように操作するために、弱い大規模な公理を求めます。最も有名な例は代数幾何学であり、その開発はグロタンディーク宇宙を広範に使用していますが、その用途（フェルマーの最終定理など）はすべて3次算術内にあるようです。はるかに単純な例として、汎用の識別および構成操作は関数ではないことに注意してください。これらの操作はセットのユニバース全体でインデックス付けされるためです。

$\sigma$ $X$ $X$

編集：論理システムAは、Aの一貫性がBの一貫性を意味する場合、システムBよりも高い一貫性強度を持ちます。たとえば、ZFCは、ZFCでPAの一貫性を証明できるため、ペアノ算術よりも高い一貫性強度を持ちます。AとBの整合性の強さは、等一貫性がある場合に同じです。例として、Peano算術は、Heyting（構成）算術がそうである場合にのみ一貫しています。

IMO、ロジックに関する最も驚くべき事実の1つは、一貫性の強さは「このロジックで合計で証明できる最も急成長している関数は何か」という質問に要約されるということです。その結果、多くのクラスのロジックの一貫性を直線的に並べることができます！2つのロジックが合計を示すことができる最も急成長している関数を記述することができる序数表記がある場合、どちらか一方が他方の一貫性を証明できるか、またはそれらが等一貫性があることを三分法によって知っています。

しかし、この驚くべき事実は、一貫性の強さが数学的な抽象化について話すための正しいツールではない理由でもあります。これはコーディングトリックを含むシステムの不変式であり、優れた抽象化により、トリックなしでアイデアを表現できます。ただし、このアイデアを正式に表現するためのロジックについては十分に理解していません。

— ニール・クリシュナスワミ
ソース

「一貫性の強さ」とは何ですか？

— スレシュヴェンカト

Ben-DavidとHaleviが証明したことではありません。「現在利用可能な技術を使用して」彼らの重要なライダーを見落としました。彼らの論文は、P = NPの質問について多くを語るのではなく、現在の証明技術がどれほど弱いかを強調していると解釈します。

— ティモシーチャウ