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計算可能な数が有理数か整数かをアルゴリズムでテストすることはできますか？言い換えれば、それは道具計算数字は機能を提供するために、そのライブラリは可能でしょうisIntegerかisRational？ 私はそれが不可能であると推測し、これは何らかの形で2つの数値が等しいかどうかをテストすることができないという事実に関連していると推測していますが、それを証明する方法はわかりません。 編集：計算数はxxxの関数で与えられるfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)の合理的な近似値を返すことができxxx高精度でϵϵ\epsilon：|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonいずれについても、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0。このような関数を考えると、それがあれば、テストすることが可能であるx∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}またはx∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}？

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次のパーティションの問題を特定のスケジューリングの問題に削減しました。 入力：非減少順の正整数のリスト。a1⩽⋯⩽ana1⩽⋯⩽ana_1\leqslant\cdots\leqslant a_n 質問： DOESは、ベクターが存在しよう(x1,…,xn)∈{−1,1}n(x1,…,xn)∈{−1,1}n(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n k個のΣ iが= 1 A I X 、I ⩾ 0を∑i=1naixi=0and∑i=1naixi=0and\sum_{i=1}^na_ix_i=0\qquad\text{and} ∑i=1kaixi⩾0for all k∈{1,…,n}∑i=1kaixi⩾0for all k∈{1,…,n}\sum_{i=1}^ka_ix_i\geqslant 0\quad\text{for all }k\in\{1,\ldots,n\} 2番目の条件がなければ、それは単なるPARTITIONであり、したがってNPハードです。しかし、2番目の条件は多くの追加情報を提供するようです。このバリアントを決定する効率的な方法があるかどうか疑問に思っています。それともまだ難しいですか？

13 cc.complexity-theory  reference-request  partition-problem  subset-sum 

グラフます。場合、私はテストしたいVは、 2つの互いに素の集合に分割することができるV 1及びV 2によって誘導されるサブグラフようにV 1及びV 2は、ユニットインターバルグラフです。G = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)VVVV1V1V_1V2V2V_2V1V1V_1V2V2V_2 間隔番号を決定するNP完全性については知っていますが、上記の問題は異なります。現在、文献では、A。GyárfásとD. Westのマルチトラック間隔グラフでこの作品を見つけましたが、上記の問題に関連するかどうかはわかりません。 上記または同様の問題に関する既存の文献への引用は参考になります。上記の問題に正式な名前があるかどうかも教えてください。

13 graph-theory  partition-problem  interval-graphs 

パーティションの問題は、入力整数が何らかの多項式で制限されている場合、多項式（擬似多項式）時間アルゴリズムを持っているため、NP完全に弱いです。ただし、入力整数が多項式で区切られている場合でも、3パーティションはNP完全問題です。 と仮定すると、中間NP完全問題が存在しなければならないことを証明できますか？答えが「はい」の場合、そのような「自然な」候補問題はありますか？P≠NPP≠NP\mathsf{P \ne NP} ここで、中間NP完全問題とは、疑似多項式時間アルゴリズムも、強い意味でのNP完全もない問題です。 弱いNP完全性と強いNP完全性の間には、中間的なNP完全問題の無限の階層があると思います。 EDIT 3月6日：コメントで述べたように、質問を提起する別の方法は次のとおりです。 と仮定すると、数値入力が単項で提示される場合、多項式時間アルゴリズムもNP完全性もないNP完全問題の存在を証明できますか？答えが「はい」の場合、そのような「自然な」候補問題はありますか？P≠NPP≠NP\mathsf{P \ne NP} EDIT2 3月6日：含意の逆の方向は真実です。そのような"中間"の存在 -complete問題が意味P ≠ N Pの場合ので、P = N Pは、その後、単項N P -complete問題であるP。NPNPNPP≠NPP≠NP\mathsf{P \ne NP}P=NPP=NP\mathsf{ P=NP}NPNPNPPPP

13 cc.complexity-theory  np-hardness  partition-problem 

OrderedPartition問題、入力は、二つの配列であり、nnn正の整数であり、(ai)i∈[n](ai)i∈[n](a_i)_{i\in [n]}及び(bi)i∈[n](bi)i∈[n](b_i)_{i\in [n]}。出力は、インデックス[n][n][n]を2つの互いに素なサブセットIIIおよびJJJに分割したものです。 ∑i∈Iai=∑j∈Jai∑i∈Iai=∑j∈Jai\sum_{i\in I} a_i = \sum_{j\in J} a_i すべてのためのi∈Ii∈Ii\in Iとすべてのためj∈Jj∈Jj\in J：bi≤bjbi≤bjb_i\leq b_j。 言い換えると、最初にbibib_iが弱く増加するようにライン上のインデックスを並べ替えてから、両側のaiaia_i合計が同じになるようにラインをカットする必要があります。 すべてのbibib_iが同じである場合、条件2は無関係であり、NPハードPartition問題のインスタンスがあります。一方、すべてのbibib_iが異なる場合、条件2はインデックスに単一の順序付けを課すため、チェックするオプションはn−1n−1n-1のみであり、問​​題は多項式になります。これらのケースの間で何が起こりますか？ 質問を定式化することによって定義OrderedPartition[n,d]するために、1≤d≤n1≤d≤n1\leq d\leq n、サイズのインスタンスに制限問題nnnの同一の最大部分集合した、bibib_i -sがサイズであるddd。したがって、すべてのbibib_i -sが異なる場合の簡単なケースはis OrderedPartition[n,1]であり、すべてのbibib_i -sが同じ場合のハードケースはOrderedPartition[n,n]です。 より一般的には、任意のnnnおよびdddについて、任意のOrderedPartition[n,d]場合において、条件2に関連する可能なパーティションの数はO(n2d)O(n2d)O(n 2^d)です。従って、もしd∈O(logn)d∈O(log⁡n)d\in O(\log{n})、次にOrderedPartition[n,d]依然としての多項式であるnnn。 一方、任意のnnnおよびdddPartitionについて、ddd整数の問題からに減らすことができますOrderedPartition[n,d]。ましょうp1,…,pdp1,…,pdp_1,\ldots,p_dのインスタンスですPartition。のインスタンスを定義しますOrderedPartition[n,d]。 毎i∈{1,…,d}i∈{1,…,d}i\in \{1,\ldots,d\}、聞かせて私を：= 2 N ⋅ P IおよびbはI：= 1。ai:=2n⋅piai:=2n⋅pia_i := 2n\cdot p_ibi:=1bi:=1b_i := 1 毎i∈{d+1,…,n}i∈{d+1,…,n}i\in \{d+1,\ldots,n\}、聞かせてI：= 1及びbはI：= iが [あればN - dが奇数で、作るnは：= 2合計が偶数となるように]。ai:=1ai:=1a_i := 1bi:=ibi:=ib_i …

8 np-hardness  partition-problem 

標準の分割問題では、合計が2 秒の2s2s数値がいくつか与えられ、合計がsのss 2つのサブセットに分割できるかどうかを決定する必要があります。NPハードであることが知られています。 ただし、数値の1つを任意の数の部分にカットできる「ソフト番号」に指定することが許可されていると仮定します。異なる部分は異なるサブセットに入れることができます。その後、問題は簡単になります。行のすべての数値を任意の順序で並べ、その行を同じ合計で2つのサブ行にカットするだけです。 質問：合計が3 s3s3sである数値がいくつか与えられ、合計がsである3つのサブセットに分割できるかどうかを決定する必要がありますが、最大で1つのソフト数を使用します。この問題の複雑さは何ですか？ss 2つのソフト数値の使用が許可されている場合、問題は再び簡単です。数値を上記のように一列に並べることで解決できます。 ゼロのソフト番号の使用が許可されている場合、問題は明らかに困難です。少なくとも2つのサブセットに分割する問題と同じくらい困難です。 1つのソフト番号を使用することが許可されている場合、問題は依然として難しいはずであり、標準パーティションの問題からなんとかしてそれを減らすことができますが、正しい削減を見つけることができませんでした。それは簡単ですか、難しいですか？ 別の質問：問題が実際にNP困難である場合、2サブセット分割問題のように疑似多項式時間で解決できますか？

8 np-hardness  reductions  partition-problem 

三角形分割されたグラフを接続されたサブグラフに分割しようとしています。パーティション間のエッジの数はある程度保証されています。以下は、4つの「クラスター」に分割された三角グラフの例です。 私が最初に欲しかったのは、およそk個の三角形のパーティションを作成できるアルゴリズムであり（大きすぎない限り、エラーが発生する可能性があります）、計算することができました。そのようなパーティションを見つけることができるアルゴリズム（ここでpはパーティションの総数）。次に、パーティション間エッジが多数あると、このアルゴリズムが必要なアプリケーションにとって有害で​​あることがわかりました。O （k2p2（v + e ））O（k2p2（v+e））O(k^2p^2(v+e)) 理想的には、各パーティションを一定の範囲内に保つことができるアルゴリズムが理想的です。理想的には、2のような一定の因子である必要があります。また、エッジ間の数に上限を持たせることができるようにしたいそれは「低い」です。kkk さらに、これらのプロパティを持つパーティションがあり、次のいずれかを実行してグラフを変更する場合にも問題があります。 既存の頂点に接続する一連のエッジを追加する 頂点と、追加した頂点に接続する一連のエッジを追加する エッジのセットを削除する 頂点とこの頂点に接続するすべてのエッジを削除する グラフを再分割できるようにしたいのですが、サイズとカットエッジの数が最小化された各分割がまだあります。（これは私が賞金を上げているソリューションです）。つまり、このアルゴリズムを使用すると、空のグラフから始めて、頂点とエッジを1つずつ追加して再パーティション化することで、任意のパーティションを構築できます。kkk この問題に対する追加の制約は次のとおりです。 グラフは平面です 各「三角形」は、エッジを共有する三角形への無向エッジを持つ頂点です 上記のステートメントから、このグラフの各頂点の次数は最大3であることは明らかです グラフが接続されています パーティションの各サブグラフは接続されています 各サブグラフには約k個の頂点があります 最大でのパーティション間エッジ（異なるパーティションの頂点を含むエッジ）があります。やようなパーティション間エッジの同様の境界を見つけることができれば、それも機能する可能性があります。パーティション間のエッジの上限が未満になる可能性があるかどうかは完全にはわかりません。 2 √ん−−√ん\sqrt n O（logn）O（n）2 n−−√2ん2\sqrt nO （ログn ）O（ログ⁡ん）O(\log n)O （n ）O（ん）O(n) 私は立ち往生しているところにいるので、この問題に対するどんな助けも素敵です。この問題を完全に解決できれば、あなたはミツバチの膝です。そうでなければ、あなたが私に指摘できる論文や教科書やアルゴリズムを知っているなら、私はそれを非常に感謝します。 明確にする必要がある場合はお知らせください。 編集：問題を簡単にするための追加の制約を次に示します。 制限付きのドロネー三角形分割を扱っています 制約は決して単一の頂点にはならない 三角形分割から作成されたグラフは、次のように構成されます。各三角形は頂点として表されます。グラフの各エッジは、三角形分割の制約のないエッジに対応しています。これは、2つの三角形間の拘束されたエッジが、三角形分割のグラフ表現に表示されないことを意味します。 私は実現もう一つは、我々は変更する必要があるかもしれないことであるとして成長するために成長し、そうでなければサブがないことができますパーティション間のエッジの数に保証します。n O （n ）kkkんんnO （n ）O（ん）O(n)

8 graph-theory  graph-algorithms  planar-graphs  partition-problem  delaunay-triangulation 

2つのサブセットの合計が可能な限り近くなり、セットのカーディナリティーが等しい（nが偶数の場合）または1だけ異なるように、Nの指定された数値（等しくても等しくなくてもよい）を2つのサブセットに分割したい（ nが奇数の場合）。 私はこれを擬似多項式時間で実行できると思います。ここで、はセット内の数値の合計です。AO(n2A ）O(n2A)O(n^2 A)あAA これよりうまくできますか？つまり、で時間で実行される疑似多項式時間アルゴリズムはありますか？c &lt; 2O （ncA ）O(ncA)O(n^c A)c &lt; 2c&lt;2c < 2 前もって感謝します！

8 ds.algorithms  co.combinatorics  partition-problem