PARTITIONの別のバリアント

次のパーティションの問題を特定のスケジューリングの問題に削減しました。

入力：非減少順の正整数のリスト。 $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_n$

質問： DOESは、ベクターが存在しよう $(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n$

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} = 0 and

$\sum_{i=1}^na_ix_i=0\qquad\text{and}$

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} x_{i} ⩾ 0 for all k \in {1, \dots, n}

$\sum_{i=1}^ka_ix_i\geqslant 0\quad\text{for all }k\in\{1,\ldots,n\}$

2番目の条件がなければ、それは単なるPARTITIONであり、したがってNPハードです。しかし、2番目の条件は多くの追加情報を提供するようです。このバリアントを決定する効率的な方法があるかどうか疑問に思っています。それともまだ難しいですか？

cc.complexity-theory reference-request partition-problem subset-sum

— トーマス・カリノフスキー
ソース

PARTITIONからこの問題への削減を次に示します。してみましょう PARTITIONのインスタンスです。と仮定します。 $(a_1,\dots, a_n)$ $a_1\leq a_2\leq \dots \leq a_n$

ましょう「非常に多く」、例えばあること。インスタンス我々の問題の。 $N$ $N = (\sum_{i=1}^n |a_i|) + 1$

\underset{5 n 回}{\underset{⏟}{N, \dots, N}} 、 N + a_{1} 、 \dots 、 N + a_{n} 、 \underset{n 回}{\underset{⏟}{4 N 、 \dots 、 4 N}}

$\underbrace{N, \dots, N}_{5n \text{ times}}, N + a_1, \dots, N+a_n,\underbrace{4N, \dots, 4N}_{n \text{ times}}$

PARTITION に対するソリューションがある場合、は問題の解決策です。 $x_1,\dots, x_n$
$\underset{4 n 回}{\underset{⏟}{1 、 \dots 、 1}} 、 - {バツ}_{1} 、 \dots 、 - {バツ}_{n} 、 {バツ}_{1} 、 \dots 、 {バツ}_{n} 、 \underset{n 回}{\underset{⏟}{- 1 、 \dots 、 - 1}}$ $\underbrace{1, \dots, 1}_{4n \text{ times}},-x_1,\dots,-x_n,x_1,\dots,x_n,\underbrace{-1,\dots,-1}_{n \text{ times}}$
問題のインスタンス（PARTITIONのインスタンスを減らした）の解決策がある場合、。したがって、つまり、はPARTITIONの解です。 $(x_1,\dots,x_{5n},y_1,\dots, y_n, z_1,\dots,z_n)$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i \equiv 0 \pmod N$
$\sum_{私 = 1}^{n} a_{私} y_{私} = 0。$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i = 0.$ $(y_1,\dots, y_n)$

— ユリー
ソース

ありがとう、ユリー。私のアプリケーションでは、入力リストが減少しない順序いることが重要であり、縮小の入力はそうではありません。質問を修正して、注文要件をより明確にします。

(N, a_{1}, \dots, a_{n}, N)

$(N,a_1,\ldots,a_n,N)$

— トーマスKalinowski 14

@トーマス：私はそれに気づかなかった。今、ソリューションを更新しました。

— ユーリー14