パーティション間のエッジを最小化しながらグラフをパーティション分割する

三角形分割されたグラフを接続されたサブグラフに分割しようとしています。パーティション間のエッジの数はある程度保証されています。以下は、4つの「クラスター」に分割された三角グラフの例です。

私が最初に欲しかったのは、およそk個の三角形のパーティションを作成できるアルゴリズムであり（大きすぎない限り、エラーが発生する可能性があります）、計算することができました。そのようなパーティションを見つけることができるアルゴリズム（ここでpはパーティションの総数）。次に、パーティション間エッジが多数あると、このアルゴリズムが必要なアプリケーションにとって有害で​​あることがわかりました。$O(k^2p^2(v+e))$

理想的には、各パーティションを一定の範囲内に保つことができるアルゴリズムが理想的です。理想的には、2のような一定の因子である必要があります。また、エッジ間の数に上限を持たせることができるようにしたいそれは「低い」です。$k$

さらに、これらのプロパティを持つパーティションがあり、次のいずれかを実行してグラフを変更する場合にも問題があります。

• 既存の頂点に接続する一連のエッジを追加する
• 頂点と、追加した頂点に接続する一連のエッジを追加する
• エッジのセットを削除する
• 頂点とこの頂点に接続するすべてのエッジを削除する

グラフを再分割できるようにしたいのですが、サイズとカットエッジの数が最小化された各分割がまだあります。（これは私が賞金を上げているソリューションです）。つまり、このアルゴリズムを使用すると、空のグラフから始めて、頂点とエッジを1つずつ追加して再パーティション化することで、任意のパーティションを構築できます。$k$

この問題に対する追加の制約は次のとおりです。

• グラフは平面です
• 各「三角形」は、エッジを共有する三角形への無向エッジを持つ頂点です
• 上記のステートメントから、このグラフの各頂点の次数は最大3であることは明らかです
• グラフが接続されています
• パーティションの各サブグラフは接続されています
• 各サブグラフには約k個の頂点があります
• 最大でのパーティション間エッジ（異なるパーティションの頂点を含むエッジ）があります。やようなパーティション間エッジの同様の境界を見つけることができれば、それも機能する可能性があります。パーティション間のエッジの上限が未満になる可能性があるかどうかは完全にはわかりません。 2$\sqrt n$ O（logn）O（n$2\sqrt n$$O(\log n)$$O(n)$

私は立ち往生しているところにいるので、この問題に対するどんな助けも素敵です。この問題を完全に解決できれば、あなたはミツバチの膝です。そうでなければ、あなたが私に指摘できる論文や教科書やアルゴリズムを知っているなら、私はそれを非常に感謝します。

明確にする必要がある場合はお知らせください。

編集：問題を簡単にするための追加の制約を次に示します。

• 制限付きのドロネー三角形分割を扱っています
• 制約は決して単一の頂点にはならない
• 三角形分割から作成されたグラフは、次のように構成されます。各三角形は頂点として表されます。グラフの各エッジは、三角形分割の制約のないエッジに対応しています。これは、2つの三角形間の拘束されたエッジが、三角形分割のグラフ表現に表示されないことを意味します。

私は実現もう一つは、我々は変更する必要があるかもしれないことであるとして成長するために成長し、そうでなければサブがないことができますパーティション間のエッジの数に保証します。n O （n $k$$n$$O(n)$

Raoは平面グラフの最もスパースなカットに関する2つの論文を発表しています。再帰的な二分法は、理想的ではありませんが、問題に対して実行可能なアプローチである可能性があります。

サティッシュ・ラオ。平面グラフで最適に近いセパレータを見つける。第28回コンピュータサイエンスの基礎に関するシンポジウム（FOCS）の225-237ページ、1987年。

サティッシュ・ラオ。平面グラフ（拡張抽象）で小さなエッジカットを見つけるための高速アルゴリズム。コンピューティングの理論に関する第24回ACMシンポジウム（STOC）、229-240ページ、1992年。

Horst D. SimonおよびShang-Hua Teng。再帰的二等分はどの程度良いですか？ SIAM Journal on Scientific Computing、Volume 18、Issue 5、1436〜1445、1997年。

http://cse.iitkgp.ac.in/~pabitra/paper/barna-sdm07.pdf

$O(k^3)$$k = O(\log n)$

次のアルゴリズムが役立つ場合があります。

1. Choose any vertex from the graph.

2. Do a BFS untill $O(K)$ vertices has been visited.

3. Create a cluster with the visited vertices. (Connectivity is ensured for the cluster).

4. Remover the visited vertices from the graph.

5. Repeat 1-4 untill all nodes are visited.

$O(K)$$O(K)$$O(N/K)$

また、頂点を追加してグラフを変更しても、パーティションには影響しません。新しい頂点の隣接の1つが存在する任意の1つのパーティション。これは、新しい頂点のパーティションにすることができます。したがって、クラスターの1つのサイズが大きくなりすぎるまで、パーティションの再設定は必要ありません。

編集：

$k$$m$$\mathscr{R}$$k$$\mathscr{R}$$O(K)$$O(K)$$\mathscr{R}$$k$$O(log n)$ 次に、パーティション間のエッジを減らすことができます。

これについていくつかの検索を行いましたが、他の回答が具体化するかどうかを確認するためにimmedの投稿を保留し、現在、いくつかの価値がある可能性のあるその他のアイデア/リードを捨てないように投稿しています（ただし、質問の作成者はすでに許容範囲を見つけていることを示していますが）回答）。

検査の際、この問題には多くの制約があり、アルゴリズムを作成し、それがそれらすべてを満たしていることを証明するのに紙全体が必要になる可能性があります（もちろん、通常、stackexchange形式の範囲外です）。それにもかかわらず、この種の問題に対処するためのいくつかの基本的なアプローチがあります

1. 経験的。制約に適合するランダムグラフを生成するか、条件に一致するデータセットのグラフを使用して、それらに対してさまざまなアルゴリズムを試し、パフォーマンスを確認します。アルゴリズムが条件reqdを経験的に満たしていることがわかるかもしれません。より厳密な場合、大規模なデータセットによって100％満足されれば、経験的観測から証明を作成しようとする可能性があります。また、実証的研究では、データセットの取得/生成方法、その性質/起源を知ることが役立つことがよくあります。

2. 質問には、文献/参考文献の関連する引用はありません。それでは、文献で最も近いタイプのアルゴリズムは何ですか？このタイプの問題では、複数のタイプの研究領域が重複する可能性があります。平面グラフ、グラフ分割、グラフカット、グラフセパレーター、分割三角形グラフなどに関する研究があります。この質問の定式化された、または特定の（グラフアルゴリズム）研究サブエリアが最も直接影響を与える限り、この質問のメインテーマを理解することは明らかではありません。

これらの資格を考えると、質問の基本的なテーマは「平面グラフの分割」であるようです。そのトピックに関する最近の主要な参考文献をいくつか紹介します。これらは参考になる可能性があり、現在の関連研究の追加のテーマ/角度を示しています。実装されているアルゴリズムがいくつかあり、それらは作者からの要求に応じて利用できる場合があります。

3 ^番目は、重みで分割することを含みます。これは、等しい重みに一般化されますが、検討/調査のための追加のフレームワークを提供します。すべての質問条件は、ある種の重み割り当てスキームによって満たされるでしょうか？（これはまた、質問で言及されているソリューションに対して何らかの動的制御または調整を行う必要があるという要件と関連している可能性があります。）

• スペクトル分割機能：平面グラフと有限要素メッシュ Spielman / Teng

• 基底を指定しない平面グラフのkパーティション問題の線形アルゴリズム Wada、Chen

• コストと重みによる平面グラフの分割 Aleksandrov et al