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P対NPおよびその他のリソースに制限された計算。

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決定問題の計算回路の複雑さ
小さい入力サイズ素数やグラフ同型などの古典的な決定問題の回路の複雑さを調べた人はいますか？NNN ほとんどの人はスケーリングがとしてどのように行われるかに興味がありますが、これが小さなNに対してどのように成長するかを見るのも興味深いと思います。入力が大きくなり、別のアルゴリズムがより効率的になるため、グラフが成長し、グラフの成長率が急激に変化する場合もあります。N→∞N→∞N \to \infty 誰かが一連の回路から一般的なアルゴリズムを抽出する可能性も（ありそうにありません）さえあります。 このアプローチは、通常N → ∞について尋ねられるのとは異なる質問に答えることができるようです。アルゴリズムの知識（SATソルバーなど）とスーパーコンピューティング能力の進歩により、小さなNに対して具体的な答えを得ることができました。N→∞N→∞N \to \inftyNNN 小さな決定問題の回路の複雑さを明示的に計算する人々のための参照または結果のリストはありますか？NNN これに取り組んでいる人がいる場合、最小限の回路問題を解決するために現在どのアルゴリズムを使用していますか（ブール関数とゲートのセットが与えられ、必要な最小限のゲート数を使用して回路を出力します）？
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小集合拡大予想について
グラフとδ > 0が与えられた場合、h （G 、δ ）= m i n |を計算したいとします。S | ≤ δ | V | ϕ （S ）。（φ （S ）= E （S 、ˉ S）G = （V、E）G=(V,E)G=(V,E)δ> 0δ>0\delta > 0h （G 、δ）= m i n| S| ≤ δ| V|ϕ （S）h(G,δ)=min|S|≤δ|V|ϕ(S)h(G,\delta)=min_{\vert S\vert \leq \delta \vert V \vert } \phi(S)）が、これは以下であるかどうかを決定するためにNP困難であることを``小集合膨張推測」状態ε以上1-ε用ε=1/O（LOG（1ϕ （S）= E（S、S¯）dm …
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これで何が問題である
以下は真実とは考えられていません。 L⊆L−uniform NC1L⊆L−uniform NC1\mathsf{L} \subseteq \mathsf{L}-\mbox{uniform } \mathsf{NC}^1 議論がどこで失敗するかを教えてください。 直接到達可能性の問題はに対して完全です。私はそれがL-ユニフォームN C 1にあると主張します。LL\mathsf{L}LL\mathsf{L}NC1NC1\mathsf{NC^1} 決定論的対数空間チューリングマシンの構成グラフでの直接到達可能性の問題は、に対して完全です。LL\mathsf{L} 直接的な到達可能性の問題はます。MSO2MSO2\mathsf{MSO}_2 とtが与えられると、Pはパスのエッジの自由なM S O変数を表すとします。我々がいることを確認する必要があり、Pは、から有向パス含まSにT 度内外度（中ことを確認することによって行うことができるPのエッジのすべての頂点入射の）Pである1を除いてSとTを どのイン卒、アウト度= 0 、1、および1 、0それぞれ。ssstttPPPMSOMSO\mathsf{MSO}PPPssstttPPPPPP111sssttt0,10,10,11,01,01,0 すべてのフォレストは、ツリー幅グラフです。特に、決定論的ログスペースチューリングマシンの構成グラフは、有界のツリー幅構造です。111 エルバーフェルト、ジャコビー、タンタウのボドレンダーとクールセルの定理の ログスペース版から： 有限のツリー幅構造の M S O式は、対数空間で評価できます。MSOMSO\mathsf{MSO} 証拠は、このようなものだ：所与の構造サイズの、構造のツリー幅に結合W、およびM S Oの式φ語彙とτ、（中コンストラクトL）構築物＃N C 1つの回路Cを。nnnwwwMSOMSO\mathsf{MSO}φφ\varphiττ\tauLL\mathsf{L}#NC1#NC1\#\mathsf{NC}^1CCC サイズがnでツリー幅が最大でwの構造体Mが指定された回路は、M上のφの「満足できる」割り当ての数をカウントします。CCCMMMnnnwwwφφ\varphiMMM （ヒストグラム は、変数が取る値のセットのサイズでパラメーター化された自由2次変数への割り当て数を表にしたものです）。φφ\varphi 私が考える回路唯一の語彙に依存τ、木幅バウンドD、および構造体のサイズのn。CCCττ\taudddnnn で回路を評価することにより、証明進行が、我々はその部分を必要としません。#NC1⊆L#NC1⊆L\#\mathsf{NC}^1 \subseteq \mathsf{L} 私たちにとっては 、Cussinus-Mackenzie-Therien-Vollmerによる非決定論的な計算NC1NC1\mathsf{NC^1}から次のように観察することで十分です。 #NC1#NC1\#\mathsf{NC}^1NC1NC1\mathsf{NC}^1 111MSOMSO\mathsf{MSO} NC1NC1\mathsf{NC}^1
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アドバイスの量が異なるクラスの分離？
時間階層定理は、たとえば、チューリングマシンではconst * n ^ 2よりも短い時間で解決できない問題がPにあることを示します。しかし、チューリングマシンにいくつかのアドバイスを与えると、すべての賭けはオフになります。線形サイズの回路でさえ、すべてのPSPACEを解決できないことをまだ示すことはできません。それでは、両方にアドバイスがある2つの異なるクラスを比較するとどうなるでしょうか。たとえば、対数アドバイスを含む多項式空間を、線形アドバイスを含む線形時間から分離できますか？これは単なる問題の例です。これらの線に沿ってどのような一般的な結果があるのでしょうか。
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VP対VNPの問題の量子アナログはありますか？
ウィキペディアから： VPVP\mathsf{VP} f K：クラスVPは、Pの代数的類似体です。 固定体上の多項式サイズ回路を持つ多項式次数の多項式のクラスです。fffKKK VNPVNP\mathsf{VNP} f f：クラスVNPはNPの類似物です。VNPは多項式次数の多項式のクラスと考えることができ、単項式が与えられると、多項式サイズの回路で係数を効率的に決定できます。ffffff 量子回路を使用して多項式を実装する試みがありました。arXiv：1805.12445。それで、対問題の量子アナログは存在しますか？このトピックに関する論文はありますか？fffV P V N PVPVP\mathsf{VP}VNPVNP\mathsf{VNP} PS：私は、Quantum Computingサイトで非常に関連する質問をしました。
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非直交ベクトル問題
次の問題を検討してください。 直交ベクトル問題 入力：Aセットは、SSSのnnnブールは、長さの各ベクトルddd。 質問：DOは明確なベクトルが存在しv1v1v_1及びv2∈Sv2∈Sv_2 \in Sそれは、このようなv1⋅v2=0v1⋅v2=0v_1 \cdot v_2 = 0？ 非直交ベクトル問題 入力：Aセットは、SSSのnnnブールは、長さの各ベクトルdddと正の整数kkk。 質問：DOは明確なベクトルが存在しv1v1v_1及びv2∈Sv2∈Sv_2 \in S、このようなv1⋅v2≥kv1⋅v2≥kv_1 \cdot v_2 \geq k？ これら2つの問題の関係は何ですか？ 特に、ここで私が疑問に思っているいくつかのより具体的な質問を示します。 （1）これらの問題のどちらかが他よりも難しいように見えますか？ （2）私は確かに芸術アルゴリズムの現在の状態がOVP何のためにあるのかが、これらの問題のいずれかのために、あなたは上限よりも良い得ることができていないよO(n2⋅d)O(n2⋅d)O(n^2 \cdot d)時間は？ （3）kkkを修正することは、2番目の問題の複雑さに対して何か違いがありますか？ 、Iは、の内積平均V 1及びV 2を超えるR dは。v1⋅v2v1⋅v2v_1 \cdot v_2v1v1v_1v2v2v_2RdRd\mathbb{R^d} 編集：が小さい場合、ほとんどの応答は本当に素晴らしい洞察を提供します。 ddd が大きい場合、何が言えるでしょうか。d = nまたはd = √と言いますdddd=nd=nd = n 又は少なくともD=Nαいくつかのためにα>0。d=n−−√d=nd = \sqrt{n}d=nαd=nαd = n^\alphaα>0α>0\alpha > 0
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線形制約の影響を受ける多項式関数を最大化するのはどのくらい「難しい」のでしょうか。
一般的な問題 我々は多変数多項式の関数があるとし、およびいくつかの線形関数ℓ I（xと）。次の最適化問題の解決の複雑さについて何がわかっていますか？f(x)f(x)f(\mathbf{x})ℓi(x)ℓi(x)\ell_i(\mathbf{x}) MaximizeSubject to: f(x)ℓi(x)≤0 for all iMaximizef(x)Subject to: ℓi(x)≤0 for all i\begin{align*} \text{Maximize} & \;\; f(\mathbf{x}) \\ \text{Subject to: } & \;\, \ell_i(\mathbf{x}) \le 0\text{ for all } i \end{align*} 制約によって決定された領域は有界であると想定できます。 関連するがより具体的な問題 境界のあるポリトープ（一連の線形不等式の交差として表される）があるとします。ポリトープに完全に含まれる（軸に平行な）超長方形の最大体積を計算したい。この問題を解決する複雑さは何ですか？ これらの問題のいずれかに関するヘルプは大歓迎です。
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ポリログランダムビットを持つ
検討マシン（つまり、用途がLOGSPACEこと確率的アルゴリズムと多項式多くのランダムビット）。ことが知られています（Saks-Zhou。B PLBPLBPLB PL ⊆ D SPA CE（l o g1.5（n ））BPL⊆DSPあCE（log1.5（ん））BPL \subseteq DSPACE(log^{1.5}(n)) 私の質問は、ポリログのランダム性のビットのみを使用するマシンについてです。ゴールドライヒの論文の1 つでは、そのようなマシンによって決定された言語が実際には決定論的ログスペースにあることが言及されています。しかし、私はこの発言の説明をどこにも見つけることができません。B PLBPLBPLB PLBPLBPLLLL ログスペースで完全にランダム化解除できるのはなぜですか？
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非決定性は平均して回路にとって無意味ですか？
SavickýとWoods（与えられたサイズの式によって計算されるブール関数の数）は、次の結果を証明します。 定理[SW98]：すべての定数についてk &gt; 1k&gt;1k>1、式の複雑度が最大でであるほとんどすべてのブール関数はんknkn^k、少なくとも回路複雑度を持ちんk/ knk/kn^k/kます。 証明は、下限、つまりサイズn kの式で計算されたn入力のブール関数の数を導出することで構成されます。B （n 、n k）をサイズC = n k / kの回路の数（最大でC C e C + 4 n）と比較すると、大きなnの場合、C C e C + 4B （n 、nk）B(n,nk)B(n,n^k)んnnんknkn^kB （n 、nk）B(n,nk)B(n,n^k)C= nk/ kC=nk/kC = n^k/kCCeC+ 4 nCCeC+4nC^{C}e^{C+4n}んnn、および結果は以下の通りです。CCeC+ 4 n&lt; &lt; B （N 、Nk）CCeC+4n&lt;&lt;B(n,nk)C^{C}e^{C+4n} << B(n,n^k) それは、結果はサイズの非決定論的な回路の数ということに注目することによって強化することができることを私に見えるとメートル非決定的入力はサイズの決定論的回路の数よりもはるかに大きくないのn のkについて（メートル大きすぎない、と言うメートル= n）。したがって、次の結果が成り立つと思います。んknkn^kメートルmmんknkn^kメートルmmm = nm=nm=n 結果：すべての定数について、式の複雑度が最大でn …
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アーベル群同型は
あ O （ん2）O(n2)O(n^2)アーベル群同型の実行時アルゴリズムは見やすいです。2003年にこの問題に後で取り組んだVikasは、O （ん2）O(n2)O(n^2) 実行時間 O （n ログn ）O(nlog⁡n)O(n \log n)。2007年に、Kavithaはアーベル群の同型が線形時間で実行できることを示しました。O （n ）O(n)O(n) 時間。 グループが表表現で与えられたときのアーベル群同型は、 TC0TC0\mathsf{TC^0}。あることを示す研究論文や記事はありますかあC0AC0\mathsf{AC^0}？私はグーグルしようとしましたが、それが含まれている結果のみを取得しましたTC0TC0\mathsf{TC^0}。 質問：アーベル群同型（表形式で与えられた群）は あC0AC0\mathsf{AC^0}
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モーダルロジックIK5の複雑さ
モーダルロジックの局所充足可能性問題の複雑さはどのくらいI K 5IK5\mathit{IK5}ですか？ここでは、逆モダリティで拡張されたユークリッドフレーム上のモーダルロジックを示しIK5私K5IK5ます。参考資料を教えてください。それはであるNPNPNP？ トピックについて知っていることは？ はE x p T i m eにあることが簡単にわかります。これは、それからG F 2（1次論理の2変数の保護されたフラグメント）への減少があるためです。逆の規則的な文法論理の決定を参照してください。一次論理を通じて。私K5私K5IK5Ex pT私メートルのEEバツpT私メートルeExpTimeG F2GF2GF^2 一方、通常のはN P完全です。K5K5K5NPNPNP モデルは3つの部分に分割できるため、（一次論理の1変数フラグメント）に等式を書くことができます。（1）開始ワールドw、（2）wの後続（3）後続wの後継者の。さらに難しいロジック（段階的モダリティのK 5）の削減の例は、「段階的モーダルロジックの充足可能性問題の複雑さに関するノート」で説明されています。ただし、逆モダリティが存在する場合、同じトリックを実行することはできません。簡単な考え方は、逆世界では異なる数の後継者が必要になる可能性があるということです。FO1FO1FO^1wwwwwwwwwK5K5K5
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計算可能性と複雑さの不可能性：常に最終的に対角線の引数が原因ですか？
計算可能性において、問題が再帰的または再帰的に列挙可能でないことを証明したい場合、たとえば、他の非再帰的または非再問題、Riceの定理、Rice-Shapiroの定理などからの削減を使用できます。これらの手法は、 、またはいくつかの対角引数の存在に直接基づいています（つまり、一部のプログラムはその入力プログラムM ′とは逆の動作をするため、M = M ′は矛盾します）。Complexityで、ある問題が（P ≠ N Pなどの証明されていないクレームに関係なく）しばらく計算できないことを証明したい場合MMMM′M′M'M=M′M=M′M = M'P≠NPP≠NPP \neq NP）、最終的にはいくつかの対角引数に基づく引数を使用します（たとえば、時間階層定理は完全な問題がPにないことを証明しますが、その定理は対角引数を使用して証明されます）。EXPTIMEEXPTIMEEXPTIMEPPP だから私の質問は次のとおりです。計算可能性と複雑さのすべての重要な不可能性の結果である（実際に不可能は、いくつかの未確認結果まで不可能ではない）、最終的に何らかの斜めの引数に？つまり、計算可能性と複雑さに関する重要な「不可能性の知識」はすべて、プログラムがプログラムを実行するのに十分強力であるという事実から来ているのでしょうか。 私の頭に浮かぶ唯一の重要な不可能結果は、最終的に対角線の引数によるものではなく、アッカーマン関数が原始的な再帰的ではないということです。この明らかな「ルール」の他の重要な反例を見逃していませんか？ 編集（11月18日）：私の質問が対角引数自体に特に焦点を当てていたことを示唆して申し訳ありませんが、プログラムの自己参照に依存するすべての引数（対角引数、Berryパラドックスなどを含む）に興味があります。より単純な言語（例：通常またはコンテキストフリー）の場合、これらの言語がどのように構成されるか（例：ポンピングレンマ）に基づいた「構造的」不可能性の引数があります。ただし、再帰またはre言語の場合、ほとんどの不可能な結果はプログラムの自己参照に強く依存します。これが私が言ったことです。
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DOESカウント階層を折りたたみますか？
と仮定します。次に、単純な引数はことを示しています。さらに一歩進んでを取得できますか？単純な引数はP H P P = N P P P P P = N PNP=PPNP=PPNP=PPPHPP=NPPHPP=NPPH^{PP}=NPPPPP=NPPPPP=NPPP^{PP}=NP 定理場合次いで。P H P P = N PNP=PPNP=PPNP=PPPHPP=NPPHPP=NPPH^{PP}=NP 証明 は（ギルのため）補数の下で閉じているため、です。任意のレベルを取る：次に、です。N Pは= C 、O 、N P = P H P H P P Σ P P P iが = Σ P N Pを iは = Σ PのI + …
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