感度の推測について？

関係の最近確立 $bs(f)=O(s(f)^4)$ 通過するGotsman、Linial。

同じアプローチで到達できますか、それともアプローチに本質的な制限がありますか？ $O(s(f)^2)$

cc.complexity-theory boolean-functions

— T ....
ソース

これについては、Hao Huangの論文（3番目の箇条書きの下）の結論について述べています。Huangは次のように書いています。「おそらく、ハイパーキューブではなくブール関数にスペクトル法を直接適用することで、このギャップを埋めることができます。」

— Gamow

論文から：実際に証明されているのは、定理1.4では、これは改善できません（一部の関数ではタイトです）。次に、以前に知られているNisanおよびSzegedyの結果[1]、と組み合わされます（別の話ですが、数年前に尋ねました）。この調査 [2]（表1参照）、[3]、（2）を超えて向上させることができない参照場所。プロキシとして学位を使用して、この道はそうすることはできません

\begin{matrix} (1) & \forall f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}, s (f) \geq \sqrt{\deg f} \end{matrix}

$\forall f\colon\{0,1\}^n \to \{0,1\}, \qquad s(f) \geq \sqrt{\deg f} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & \forall f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}, \deg f \geq \sqrt{\frac{1}{2} bs f} \end{matrix}

$\forall f\colon\{0,1\}^n \to \{0,1\}, \qquad \deg f \geq \sqrt{\frac{1}{2}\operatorname{bs} f} \tag{2}$

bs f ≳ (\deg f)^{\log_{3} 6}

$\operatorname{bs} f \gtrsim (\deg f)^{\log_3 6}$

\log_{3} 6 \approx 1.63

$\log_3 6 \approx 1.63$ ブロック感度に2次感度の上限を指定します。

一方、同様の手法（つまり、符号付き行列の固有値のインターレース）を使用するが、異なるオブジェクト（何よりもまず、次数をプロキシとして使用しない）を使用すると、境界がよりシャープになる可能性があります。これは、黄の論文[4]で未解決の質問として明示的に述べられています。

おそらく、ハイパーキューブではなくブール関数にスペクトル法を直接適用することで、この[2次対4次]ギャップを埋めることができます。

[1]ノーム・ニサンとマリオ・セゲディ。真の多項式としてのブール関数の次数について。計算。複雑さ、4：462–467、1992。doi ：10.1007 / BF01263419

[2] Pooya Hatami、Raghav Kulkarni、およびDenis Pankratov 、感度予測のバリエーション。コンピューティング大学院調査の理論、2011年。https：//theoryofcomputing.org/articles/gs004/

[3]ノーム・ニサンとアヴィ・ウィグダーソン。ランクとコミュニケーションの複雑さ。Combinatorica、15：557–565、1995。doi ：10.1007 / BF01192527

[4]ハオファン。ハイパーキューブの誘導されたサブグラフと感度予測の証明。arXivの：1907.00847、2019 https://arxiv.org/abs/1907.00847

— クレメントC
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