小集合拡大予想について

グラフと与えられた場合、を計算したいとします。（ $G=(V,E)$ $\delta > 0$ $h(G,\delta)=min_{\vert S\vert \leq \delta \vert V \vert } \phi(S)$ ）が、これは以下であるかどうかを決定するためにNP困難であることを``小集合膨張推測」状態以上用 $\phi(S) = \frac{ E(S,\bar{S}) }{d min \{\vert S \vert , n - \vert S\vert \} }$ $\epsilon$ $1-\epsilon$ $\epsilon = 1/O(log(\frac{1}{\delta} ) )$

コンテキストについては、は、NPが困難であることが知られているチーガー定数です。しかしを多項式時間で計算できる（どの値？）の値が存在するように見えますか？ $h(G,\delta = \frac{1}{2})$ $\delta$ $\phi(G,\delta)$

小集合展開の推測を理解するために、このステートメントを証明しているようです、

もしのラプラシアン固有ベクトルのスパンであるその固有値は以下一部よりなるように、とする場合、すべてのを満たす次に、すべてのセットに対して我々は持っています $W$ $G$ $\lambda \in [0,1]$ $w \in W$ $\mathbb{E}_i[w_i^4 ] \leq C ( E_i [w_i ^2 ] )^2$ $S$ $\vert S \vert \leq \delta \vert V \vert$ $\phi(S) \geq \lambda(1 - \sqrt{C \delta} )$

[参照、ここでは補題8、http：//www.boazbarak.org/sos/files/lec2d.pdf ]

私の質問は、

上記の定理は、最初に述べられた推測をどのように理解するのに役立ちますか？2つの間の関係は何ですか？
なぜこのようなベクターすべき定理で要求として存在しますか？そんな見た直感とは？ $w$ $w$
その特定の値の選択の背後にある直感は何である予想の文のように？ $\epsilon$

— user6818
ソース

正確に同じ順序でなくても、以下があなたの質問に答えると思います。

元の小集合展開予想の定式化では、Unique Games予想と同様に、ごとにが存在するため、グラフで「YES」の場合かどうかを判別するのはNP困難です。そこに存在する以下の拡張で設定-sized か、それはすべての「NO」の場合だ -sizedセットは、少なくとも拡張あり。Raghavendra、Steuerer、Tulsianiの論文https://www.cs.cornell.edu/~dsteurer/papers/ssereductions.pdfは、これが $\epsilon >0$ $\delta>0$ $G$ $\delta$ $\epsilon$ $\delta$ $1-\epsilon$ とNOの場合には、すべてのために実際にはケース、サイズのセット有する少なくとも同じ膨張彼らは「に同じよう -noisyガウスグラフ」（正確な声明については、論文を参照してください）。関係理由 $\epsilon = O(\log (1/\delta))$ $\delta' \geq \delta$ $\delta'$ $\epsilon$ $\epsilon = O(\log (1/\delta))$ これは、ガウスノイズグラフのこれらのパラメーター間の関係だからです。Raghavendraらのこの結果は、Khot、Kindler、Mossell、およびO'Donnellの論文の小さなセットの拡張アナログと見なすことができ、ユニークなゲームで同様の結果を示し、パラメーター間の非常に正確な関係（ユニークなゲーム設定では、アルファベットサイズと呼ばれます）および。 $1/\delta$ $\epsilon$

私の講義ノートで述べたあなたの言及した結果は、Brandao、Harrow、Kelner、Steurer、Zhou（https://www.cs.cornell.edu/~dsteurer/papers/hypercontract.pdf）の私の論文のセクション8からのものです。大まかに言えば、ここで示すのは、そのラプラシアンの低い固有値に対応する固有ベクトルのスパンに「解析的にスパースな」ベクトルが含まれていない場合にのみ、グラフが小さなセット拡張器であることです。

直感は次のとおりです。次の2つの極端を考慮してください。

$w$ $w$ $\mathbb{E}_i w_i^4 = O(\mathbb{E}_i w_i^2)^2$

$w$ $\delta$ $1$ $0$ $\mathbb{E}_i w_i^4 = \delta \gg \delta^2 = (\mathbb{E}_i w_i^2)^2$

$W$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\delta$ $w$ $W$ $\mathbb{E}_i w_i^4 \gg (\mathbb{E}_i w_i^2)^2$ $w$ $o(1)$

— ボアズバラク
ソース

@Boasz Barak洞察に満ちた返信をありがとう！では、セクション8は、最初に参照したSteurer-Prasad-Tulsianiの結果を何らかの形で包含していますか？それともこれらはまだ独立したアイデアですか？これらの2つのことをどのように見るべきかについて、何かお話しいただけますか

— user6818

いいえ。Raghavendra-Steurer-Tulsianiの結果を使用して別の結果を取得します。

— Boaz Barak 2015年

S S E H (ϵ, δ)

$SSEH(\epsilon,\delta)$

U G C (ϵ, δ)

$UGC(\epsilon,\delta)$

ϵ = O (l o g (\frac{1}{δ}))

$\epsilon = O(log(\frac{1}{\delta}))$