モーダルロジックIK5の複雑さ

モーダルロジックの局所充足可能性問題の複雑さはどの $\mathit{IK5}$ ですか？ここでは、逆モダリティで拡張されたユークリッドフレーム上のモーダルロジックを示し $IK5$ ます。参考資料を教えてください。それはである $NP$ ？

トピックについて知っていることは？

はにあることが簡単にわかります。これは、それから（1次論理の2変数の保護されたフラグメント）への減少があるためです。逆の規則的な文法論理の決定を参照してください。一次論理を通じて。 $IK5$ $ExpTime$ $GF^2$

一方、通常のは完全です。 $K5$ $NP$

モデルは3つの部分に分割できるため、（一次論理の1変数フラグメント）に等式を書くことができます。（1）開始ワールド、（2）後続（3）後続の後継者の。さらに難しいロジック（段階的モダリティの）の削減の例は、「段階的モーダルロジックの充足可能性問題の複雑さに関するノート」で説明されています。ただし、逆モダリティが存在する場合、同じトリックを実行することはできません。簡単な考え方は、逆世界では異なる数の後継者が必要になる可能性があるということです。 $FO^1$ $w$ $w$ $w$ $K5$

— バルトシュ・ベドナチク
ソース

ロジックはEXP完全です。下限を証明する1つの方法は、ユニバーサルモダリティで拡張された論理KTB、またはKTBのグローバルな結果関係でさえもEXP完全であることを注記することです（ChenおよびLin [1]。これらはKTBをBと表すことに注意してください）。

接続されたIK5フレームは、単一の非再帰点であるか、再帰クラスターと（おそらく空の）再帰点のセットで構成され、それぞれが（in ）空でないサブセット。従って、 $(W,R,R^{-1})$ $C$ $I$ $R$ $C$ に対称関係である。すべての要素が要素から見える場合、も再帰的です。逆に、このようにしてすべての再帰対称フレームを取得できることは容易に理解できます。その結果、

R_{s} ：= {（ バツ 、 y ） \in C^{2} ： \exists z \in 私 （ R （ z 、 バツ ） \land R （ z 、 y ） ）}

$R_s:=\{(x,y)\in C^2:\exists z\in I\,(R(z,x)\land R(z,y))\}$

C

$C$

C

$C$

I

$I$

R_{s}

$R_s$

⊢_{{K T B}^{U}} φ ⟺ ⊢_{私 K 5} ◊^{-} ⊤ \land ◻^{+} ◊^{-} ◻^{-} ⊥ \to φ^{*} 、

${}\vdash_{\mathrm{KTB}^U}\phi\iff{}\vdash_{\mathrm{IK5}}\Diamond^-\top\land\Box^+\Diamond^-\Box^-\bot\to\phi^*,$

ここで、変換は命題結合詞と交換され、モーダル演算子に対して次のように定義されます。 $\phi^*$

\begin{aligned} （ ◻ φ ）^{*} & = ◻^{-} （ ◻^{-} ⊥ \to ◻^{+} φ^{*} ） 、 \\ （ あ φ ）^{*} & = ◻^{+} φ^{*} 。 \end{aligned}

$\begin{align*} (\Box\phi)^*&=\Box^-(\Box^-\bot\to\Box^+\phi^*),\\ (A\phi)^*&=\Box^+\phi^*. \end{align*}$

ここで、ユニバーサルモダリティ示し、そしてとそれぞれIK5の前後様式を示します。 $A$ $\mathrm{KTB}^U$ $\Box^+$ $\Box^-$

参照：

[1] Cheng-Chia ChenおよびI-Peng Lin、命題モーダル理論の複雑さ、および命題モーダル理論の一貫性の複雑さ。LFCS 1994（Anil Nerode and Yu。V. Matiyasevich、eds。）、LNCS 813、Springer、pp。69–80、doi 10.1007 / 3-540-58140-5_8。

— エミール・イェジャベク
ソース

ばかげた質問かもしれません。私が理解している限り、あなたはIK5のグローバルな影響が少なくともKTB ^ Uのグローバルな影響と同じくらい難しいことを証明しました。局所的な充足可能性は地球規模の重大問題の特殊なケースであるため、どのようにしてその硬度を得るのでしょうか。

— Bartosz Bednarczyk 2018

いいえ、私はIK5の定理（ローカルとグローバルの両方の特殊なケース）が少なくともKTB ^ Uの定理と同じくらい難しいことを証明しました。あるいは、IK5の充足可能性は、KTB ^ Uの充足可能性と同じくらい難しいです。そうは言っても、実際には違いはありません。ローカルの帰結と定理は、推理定理によるモーダルロジックで同じ複雑さを持ち、ローカルとグローバルの帰結は、定義可能なユニバーサルモダリティ（IK5 ）。

— EmilJeřábek18年

EmilJeřábek、IK5の上限結果を知っていますか？次に、さまざまな手法をGF2に変換します。これは、私の投稿で言及しましたか？

— Bartosz Bednarczyk 2018

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

最後の質問です。その結果がグローバルな充足可能性問題の限界も与えるかどうか教えていただけますか（私は定理に精通していません。それが私が求めている理由です）？ユニバーサルモダリティを使用できる場合は、グローバル充足可能性をローカル充足可能性に簡単に減らすことができますが、IK5の上限はExpよりも小さい可能性があります。

— Bartosz Bednarczyk 2018