決定問題の計算回路の複雑さ

小さい入力サイズ素数やグラフ同型などの古典的な決定問題の回路の複雑さを調べた人はいますか？$N$

ほとんどの人はスケーリングがとしてどのように行われるかに興味がありますが、これが小さなNに対してどのように成長するかを見るのも興味深いと思います。入力が大きくなり、別のアルゴリズムがより効率的になるため、グラフが成長し、グラフの成長率が急激に変化する場合もあります。$N \to \infty$

誰かが一連の回路から一般的なアルゴリズムを抽出する可能性も（ありそうにありません）さえあります。

このアプローチは、通常N → ∞について尋ねられるのとは異なる質問に答えることができるようです。アルゴリズムの知識（SATソルバーなど）とスーパーコンピューティング能力の進歩により、小さなNに対して具体的な答えを得ることができました。$N \to \infty$$N$

小さな決定問題の回路の複雑さを明示的に計算する人々のための参照または結果のリストはありますか？$N$

これに取り組んでいる人がいる場合、最小限の回路問題を解決するために現在どのアルゴリズムを使用していますか（ブール関数とゲートのセットが与えられ、必要な最小限のゲート数を使用して回路を出力します）？

はい、これは自然な考えであり、人々はそれについて考えました。要するに、問題は、最先端のSAT / QBFソルバーでさえ、非常に小さな回路（約10–12ゲート）しか見つけられないことであり、小さな回路がないことの証明については言うまでもありません。いくつかの参照：

ブール回路、代数回路、決定木、分岐プログラムなど、多くの非一様モデルでは、正確な複雑度の計算は、漸近的複雑度の計算よりもかなり難しいようです。私はあなたの直感が正しいことを願っていますが、小さなインスタンスの正確な複雑さを理解することは漸近的な洞察につながる可能性があります-これが起こったいくつかのケースだけを知っています：

• 小さなフォーマットの行列乗算のアルゴリズムと下限。2x2（Strassen）、3x3（Laderman）、および行列乗算用のその他の小さなフォーマット（Johnson-McLoughlinおよびHopcroft-Kerrも参照）でかなりの作業が行われています。もともと、これらは行列乗算の再帰的な構造のために、漸近的な改善を与えるためにしばしば使用されました。結局、Coppersmith-Winogradはこれらすべてを漸近領域で置き換えました。

• ビュルギッサーとイケンマイヤーによる小さな行列乗算のGCTスタイルの下限は、行列乗算の漸近的な下限をもたらしました。これは少なくとも部分的には、表現論的構造が自然に単一の正確な下限を無限族に変える方法を示唆しているためだと思います。

• （さらにいくつかのアレクサンダー・クリコフの答えを見てください）

これらとは別に、さまざまな問題の正確な複雑さについては小さいながらも重要な作業が行われていますが、ほとんどの場合、問題はGraphIsoやPrimesよりも簡単です（パーマネントの最後の例を除く）。私はこの作品が興味深いと感じており、まだわかっていない限り、それがより大きな理論的洞察につながることを期待しています。

• $n$

• 正確な最小深度のソートネットワークについてもいくつかの作業が行われています（BundalaとZávodnýが最新のようです）。

• $2^k$

• $per_3$