アーベル群同型は

あ $O(n^2)$アーベル群同型の実行時アルゴリズムは見やすいです。2003年にこの問題に後で取り組んだVikasは、$O(n^2)$ 実行時間 $O(n \log n)$。2007年に、Kavithaはアーベル群の同型が線形時間で実行できることを示しました。$O(n)$ 時間。

グループが表表現で与えられたときのアーベル群同型は、 $\mathsf{TC^0}$。あることを示す研究論文や記事はありますか$\mathsf{AC^0}$？私はグーグルしようとしましたが、それが含まれている結果のみを取得しました$\mathsf{TC^0}$。

質問：アーベル群同型（表形式で与えられた群）は $\mathsf{AC^0}$

質問に記載されていることに反しては、アーベル群同型がされていないにあることが知られています$\mathrm{TC^0}$。言うまでもなく、これはまた、$\mathrm{AC^0}$。

何されて知られていると、[1]から以下の観察です。しましょう$\mathrm{pow}$ 次の問題を表す：アーベル群の乗法表を考える $(A,{\cdot})$、要素 $a,b\in A$、および $m$ 単項では、 $b=a^m$。有限アーベル群の構造定理は、$A,B$ サイズのそのような2つのグループです $n$、その後

多項式サイズのセットを数えることができるので $\mathrm{TC^0}$、 私達は手に入れました

命題1：アーベル群の同型は、$\mathrm{TC^0(pow)}$。

さて、 $\mathrm{pow}$明らかにLで計算可能であり、[2]に示すように、クラスFOLLでも計算可能です。したがって、

推論2：アーベル群同型は、$\mathrm{L}$ そして $\mathrm{TC^0(FOLL)}$。

かどうかは不明です $\mathrm{pow}$ で計算可能です $\mathrm{TC^0}$。

通常の「多項式サイズ」の回路クラスに関しては、Corollary 2が最もよく知られている結果のようです。しかし、私は問題が準多項式バージョンにあることに気づきます$\mathrm{AC^0}$：

命題3：アーベル群同型は、準多項式サイズの一定深度ブール回路の均一なシーケンスによって計算できます。より具体的には、$\Sigma_2\text-\mathrm{TIME}\bigl((\log n)^2\bigr)$。

（これは、サイズのdepth-3回路の均一なファミリに変換されます $2^{O((\log n)^2)}$、下部の選言にはファンインのみがあります $O\bigl((\log n)^2\bigr)$; これはしばしば「深さ」と呼ばれます$2\frac12$」）。

命題3は、有限アーベル群の構造定理の結果でもあります。そのような群はすべて、 $O(\log n)$ 循環サブグループ、したがってグループ $A$ そして $B$ 同型である場合、それらは一致する次数を持つ循環サブグループの直接和として書くことができます。つまり、 $|A|=|B|=n$、その後 $A\simeq B$ iff

が存在します

• シーケンス $\{m_i:i<k\}$ の $k\le\log n$ 整数 $m_i\le n$

• シーケンス $\{a_i:i<k\}\subseteq A$ そして $\{b_i:i<k\}\subseteq B$

そのような

• $\prod_{i<k}m_i=n$

• $a_i^{m_i}=1$ そして $b_i^{m_i}=1$ それぞれに $i<k$

• すべてのシーケンス$\{r_i:i<k\}$ 整数の $0\le r_i<m_i$、すべてゼロではありません：

  $\prod_{i<k}a_i^{r_i}\ne1$ そして $\prod_{i<k}b_i^{r_i}\ne 1$

2つの主要な量指定子が強調表示されています。指定された範囲を超えていないことを確認するには、アイデンティティが$\prod_{i<k}a_i^{r_i}=1$ チェックインできます $\mathrm{NTIME}\bigl((\log n)^2\bigr)$。これは、部分積の値を連続的に推測および検証することで実行できます。$\prod_{i<l}a_i^{r_i}$ ために $l=0,\dots,k$; さらに、それぞれ$i$、同様に推測して検証します $O(\log r_i)$ の計算の部分的な結果 $a_i^{r_i}$繰り返し二乗することによって。合計すると、これは$O\left(\sum_i\log r_i\right)\subseteq O\left(\sum_i\log m_i\right)\subseteq O(\log n)$ それぞれがかかる推測 $O(\log n)$ 確認する時間。

命題3を証明する別の方法があります。つまり、 $(*)$、私たちは考慮する必要があります $m$ それは主要な力です： $m=p^e$。その場合、数える必要のある2つの問題のあるセットには、次の累乗のサイズもあります。$p$; 特に、それらが等しくない場合、それらは少なくとも$p$。したがって、2つのセットのサイズをおよそ数えるだけで十分です。これは準多項式で行うことができます$\mathrm{AC^0}$Sipserのコーディングレンマを使用します。そして、すでに示したように、$\mathrm{pow}$ 準多項式で計算できます $\mathrm{AC^0}$ 繰り返し二乗することによって。

命題3の結果の1つは、アーベル同型写像問題が $\mathrm{AC^0}$、これを証明するのはかなり難しいかもしれません。特に、PARITYまたはMAJORITYを単純に問題に減らすことはできません。これらは、準多項式ではなく指数サイズの境界深度回路を必要とするためです。上のパリティを減らしようとしても$m\ll n$ 問題のビット、パラメータの余地はあまりありません。具体的には、超多対数的に多くのビットのPARITYは、準多項式サイズの定数深度回路では計算できません。また、多対数的に多くのビットのPARITYは、 $\mathrm{AC^0}$ 分割して征服することによって。

参照：

[1] Arkadev Chattopadhyay、JacoboTorán、Fabian Wagner：グラフ同型は$\mathrm{AC^0}$-群同型に還元可能、ACM Transactions on Computation Theory 5（2013）、いいえ。4、記事番号。13、doi：10.1145 / 2540088。

[2] David Mix Barrington、Peter Kadau、Klaus-JörnLange、Pierre McKenzie：乗法表として入力されたグループに関するいくつかの問題の複雑さについて、Journal of Computer and System Sciences 63（2001）、no。2、pp。186–200、doi：10.1006 / jcss.2001.1764。