非決定性は平均して回路にとって無意味ですか？

SavickýとWoods（与えられたサイズの式によって計算されるブール関数の数）は、次の結果を証明します。

定理[SW98]：すべての定数について$k>1$、式の複雑度が最大でであるほとんどすべてのブール関数は$n^k$、少なくとも回路複雑度を持ち$n^k/k$ます。

証明は、下限、つまりサイズn kの式で計算されたn入力のブール関数の数を導出することで構成されます。B （n 、n k）をサイズC = n k / kの回路の数（最大でC C e C + 4 n）と比較すると、大きなnの場合、C C e C + $B(n,n^k)$$n$$n^k$$B(n,n^k)$$C = n^k/k$$C^{C}e^{C+4n}$$n$、および結果は以下の通りです。$C^{C}e^{C+4n} << B(n,n^k)$

それは、結果はサイズの非決定論的な回路の数ということに注目することによって強化することができることを私に見えるとメートル非決定的入力はサイズの決定論的回路の数よりもはるかに大きくないのn のkについて（メートル大きすぎない、と言うメートル= n）。したがって、次の結果が成り立つと思います。$n^k$$m$$n^k$$m$$m=n$

結果：すべての定数について、式の複雑度が最大でn kであるほとんどすべてのブール関数は、少なくともn k / kの非決定論的な回路の複雑度を持ちます（nの非決定論的な入力を持つ非決定論的な回路の場合）。$k>1$$n^k$$n^k/k$$n$

（非決定性回路には、通常の入力に加えて、「非決定性」入力のセットy = （y 1、… 、y m）があります。非決定性回路Cは、回路出力1が（x 、y ）であるようなyが存在する場合はxを入力します。$x = (x_1,\dots,x_n)$$y=(y_1,\dots,y_m)$$C$$x$$y$$1$$(x,y)$

明らかに、の下限は、サイズn kの回路によって計算されたn入力のブール関数の数の下限でもあるため、「式の複雑さは最大でn k」は「回路当然のことながら、最大でn k "の複雑さ。結果は次のようにも表現できます。多項式の回路が複雑な関数の場合、非決定性回路に切り替えても、平均して、一定の係数以上に複雑度を下げることはできません。$B(n,n^k)$$n$$n^k$$n^k$$n^k$

質問：

（1）上記の結果の興味深い影響/結果はありますか？

（2）同じ方向に他の結果はありますか？たとえば、次の命題について何がわかっていますか？Pの問題の場合、TMからNTMに切り替えても、平均して複雑さを定数以上に減らすことはできません。

（Gil Kalaiにも、 これに多少関連する質問があります。）

1）非決定性がここでの赤いニシンであることを認識します。停止の問題を解決するゲートのある代替回路を使用することもできます。つまり、モデルを修正すると、kビットの記述を持つ関数しか計算できないという単純なカウントの引数になります。$2^k$$k$

2）Pのような均一なクラスの場合、「Pの平均関数」の明確な定義がなく、カウント引数がきれいに機能しないため、これはより困難です。Pのすべてが非決定論的な線形時間で解くことができるという現在の知識と一致しています。