ハードタスクの計算能力は、簡単なタスクの解決にどの程度役立ちますか

要するに、質問は次のとおりです。難しいタスクの計算能力は、簡単なタスクを解決する上で実際にどの程度役立ちますか。（この質問を面白くて取るに足らないものにするためのさまざまな方法があるかもしれませんが、そのような試みの1つがここにあります。）

質問1：

n個の変数を含む式のSATを解く回路を考えます。（または、エッジを持つグラフのハミルトニアンサイクルを見つけるため。）$n$

すべてのゲートで、個の変数の任意のブール関数を計算できると仮定します。具体的には、ます。m = 0.6 $m$$m=0.6 n$

強力な指数時間仮説（SETH）は、このような強力なゲートを使用しても、スーパー多項式の回路サイズが必要であると主張しています。実際、ごとに少なくともサイズが必要ある意味で、非常に複雑なブール関数（NP完全性をはるかに超える）を表す変数の一部のゲートは、あまり利点を与えません。ϵ $\Omega (2^{(0.4-\epsilon) n})$$\epsilon.$

さらに質問することができます：

（i）このようなサイズ回路を作成できますか？？ 2 （1 − ϵ ）$2^{0.9 n}$$2^{(1-\epsilon)n}$

「いいえ」と答えると、SETHが大幅に強化されます。もちろん、簡単な「はい」の答えがあるかもしれません。

（ii）（i）への答えがYESの場合、任意のブール関数を計算するゲートは、（たとえば）任意のNP関数を「ちょうど」計算するゲートと比較して、いくつかの利点をもたらします。またはSAT自体の単なる小さなインスタンス？

次の質問では、質問に対して同様の質問を試みます。$P$

質問2：

前と同様にとし、具体性のためにます。（などの他の値も重要です。）次のタイプの回路を考慮してください。、M = 0.6 、N 、M 、M = N $m< n$$m=0.6n$$m$$m=n^\alpha$

a）1つのステップで、個の変数で任意のブール関数を計算できます。$m$

b）1つのステップで、変数を使用してSAT問題を解決できます。または、変数の多項式サイズの任意の非決定性回路。$m$$m$

c）1ステップで、サイズ個の変数で任意の回路を実行できます（は固定です）。m d$m$$m^d$$d$

d）1つのステップで、通常のブールゲートを実行できます。

エッジを持つグラフの完全一致を見つける問題を考えてみましょう。マッチングには、多項式サイズの回路があります。問題は、タイプd）の回路からタイプc）の回路、サイズc）の回路からサイズb）の回路、およびサイズbの回路に移動したときに、このようなマッチングアルゴリズムの指数を改善できるかどうかです。 ）サイズa）の回路へ。$n$

（これは、並列計算またはオラクルに関する既知の問題に関連している可能性があります。）

カウントすることにより、サイズそのような回路で約関数を計算できるはずなので、すべての関数を計算するにはで十分だと思います。、S 、S = 2 N - $2^{2^m \cdot s}$$s$$s=2^{n-m}$