線形制約の影響を受ける多項式関数を最大化するのはどのくらい「難しい」のでしょうか。

一般的な問題

我々は多変数多項式の関数があるとし、およびいくつかの線形関数。次の最適化問題の解決の複雑さについて何がわかっていますか？ $f(\mathbf{x})$ $\ell_i(\mathbf{x})$

\begin{aligned} Maximize & f (x) \\ Subject to: & ℓ_{i} (x) \leq 0 for all i \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Maximize} & \;\; f(\mathbf{x}) \\ \text{Subject to: } & \;\, \ell_i(\mathbf{x}) \le 0\text{ for all } i \end{align*}$

制約によって決定された領域は有界であると想定できます。

関連するがより具体的な問題

境界のあるポリトープ（一連の線形不等式の交差として表される）があるとします。ポリトープに完全に含まれる（軸に平行な）超長方形の最大体積を計算したい。この問題を解決する複雑さは何ですか？

これらの問題のいずれかに関するヘルプは大歓迎です。

— ネイシュ
ソース

あなたは見て撮りたいことがあり、この論文を。

— ロドリゴデアゼ

別の投稿で、2番目の問題を個別に尋ねることができます。

— DW

2次の多項式であっても、問題はNP困難です。重要な参照は

セオドア・モツキンとエルンスト・シュトラウス（1965）
「グラフの最大値とトゥランの定理の新しい証明」
Canadian Journal of Mathematics 17、pp 533-540

$G=(V,E)$ $V=\{1,2,\ldots,n\}$ $1/\omega$ $\omega$ $G$

\begin{array}{rcl} max & \sum_{i j \in E} x_{i} x_{j} \\ s . t . & \sum_{i \in V} x_{i} = 1 \\ 0 \leq x_{i} \leq 1 for all i \in V \end{array}

$\begin{eqnarray*} \max &&\sum_{ij\in E} x_ix_j \\[2ex] s.t. &&\sum_{i\in V} x_i=1 \\[1ex] && 0\le x_i\le 1~~~ \text{ for all $i\in V$} \end{eqnarray*}$

クリーク数の計算はNP困難であるため、これは、線形制約の影響を受ける多変量多項式関数を最大化するNP困難性を意味します。

— ガモフ
ソース

最適な解決策では、それぞれの値あるべきである場合クリーク（としているで他の場所）、及び最適な目標値の一致。これは、各クリーク頂点に値を与えると、クリークエッジのそれぞれがOPTにを与えることを意味するためです。この同じ計算の自然な一般化は、これが最適であることを示しています。

x_{v}

$x_v$

1 / ω

$1/\omega$

v

$v$

0

$0$

(1 - 1 / ω) / 2

$(1-1/\omega)/2$

1 / ω

$1/\omega$

(ω^{2} - ω) / 2

$(\omega^2-\omega)/2$

1 / ω^{2}

$1/\omega^2$

— Yonatan N