理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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漸近的に、
順列を。反転は、i &lt; jおよびσ （i ）&gt; σ （j ）のようなインデックスのペアとして定義されます。[ 1 .. n ] （i 、j ）σσ\sigma[1..n][1..n][1..n](i,j)(i,j)(i, j)i&lt;ji&lt;ji < jσ(i)&gt;σ(j)σ(i)&gt;σ(j)\sigma(i) > \sigma(j) AkAkA_kを、最大k回の反転を持つの順列の数として定義します。[1..n][1..n][1..n]kkk 質問：厳密な漸近境界は何AkAkA_kですか？ 関連する質問が以前に尋ねられました：同じケンダル・タウ距離を持つ置換の数 しかし、上記の質問はA kの計算 に関するものでした。ここに示す繰り返し関係を満たすため、動的プログラミングを使用して計算できます：https : //stackoverflow.com/questions/948341/dynamic-programming-number-of-ways-to-get-at-least-n-bubble -ソートスワップAkAkA_k 正確に kkk反転を伴う順列の数も研究されており、生成関数として表現できます：http : //en.wikipedia.org/wiki/Permutation#Inversions しかし、閉形式の公式や漸近的な境界を見つけることができません。
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ポリログ境界の深さ回路の回路下限のステータス
AC0AC0AC^{0}pppAC0[q]AC0[q]AC^{0}[q]AC0[q]AC0[q]AC^0[q]qqqgcd(p,q)=1gcd(p,q)=1\gcd(p,q)=1。ただし、入力を制限し、有限体で多項式を近似するなどの古典的な方法を使用すると、多対数深度回路で具体的な下限の結果を取得することはできません。 幾何学的複雑性理論につながり、ビット単位の演算を使用しない効率的な並列計算では最小コストフローの問題を計算できないことを示すSTOC'96論文を知っています。 これは、特定の制限された設定で、一部の完全問題の下限を証明できることを意味します。PNCNCNCPPP 第一に、多対数深度回路の下限を証明するためのもっともらしいアプローチであるかもしれない他の方法または技術がありますか？ 第二に、理論コミュニティにとって次の声明はどれほど有用ですか？ ブール関数計算する回路のサイズは、少なくとも。ここで、は、ターゲット関数。lの値は、たとえば、不一致のような組み合わせ量、フィールド上の特定のタイプの行列のランクのような線形代数量、または以前は複雑性理論で使用されていなかったまったく新しい量です。F ：{ 0 、1 } のn → { 0 、1 } LのL F LNCNCNCf:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f\colon\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}llllllffflll
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comonadsとfunctorの間にあるco-applicative functorのような概念はありますか？
モナドはすべて適用ファンクターであり、適用ファンクターはファンクターです。また、comonadはファンクターです。comonadsとファンクターの間に同様の概念がありますか？共同適用ファンクターのようなものがあり、その特性は何ですか？ \begin{array}{c} \end{array} ファンクター↑応用ファンクター↑モナドファンクター↑？？？↑コモナドファンクターファンクター↑↑応用ファンクター？？？↑↑モナドコモナド\begin{array}{cc} \mbox{Functors} & & \mbox{Functors} \\ \uparrow & & \uparrow \\ \mbox{Applicative functors} & & ??? \\ \uparrow & & \uparrow \\ \mbox{Monads} & & \mbox{Comonads} \\ \end{array} 更新：このような概念の可能な用途にも興味があります。
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素数と小さい値について証明されたが、その後偽であることが判明したTCS推測とは何ですか？
いくつかのパラメーターnを含み、nの小さい値と素数で証明されたが、後で偽であることが判明した理論的コンピューターサイエンスの推測はありますか？ 数論では、そのような問題は存在します。アーロンMeyerowitzは指摘円分多項式の係数についての一つ。TCSからは、まだ解決されていない回避予想のような例を知っています。
17 big-list  primes 
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半正定値プログラミングに基づくアルゴリズムによる多項式高速化
これは、A。Palによる最近の質問のフォローアップです。多項式時間で半正定値プログラムを解く。 私はまだ、半正定値プログラム（SDP）の解を計算するアルゴリズムの実際の実行時間について困惑しています。ロビンが上記の質問に対するコメントで指摘したように、SDPは一般に多項式時間で解くことはできません。 SDPを慎重に定義し、原始実行可能領域がどれだけ適切に制限されているかを条件とする場合、楕円法を使用して、SDPの解決に必要な時間に多項式限界を与えることができます（セクション3.2を参照）L.Lovász、半正定プログラムおよび組み合わせ最適化）。そこに与えられた限界は、一般的な「多項式時間」であり、ここでは、より粗くない限界に興味があります。 動機は、量子分離可能性問題に使用される2つのアルゴリズムの比較から得られます（実際の問​​題はここでは関係ないので、古典的な読者の読みを止めないでください！）。アルゴリズムは、SDPにキャストできるテストの階層に基づいており、階層内の各テストはより大きなスペースで行われます。つまり、対応するSDPのサイズが大きくなります。比較したい2つのアルゴリズムは、次のトレードオフが異なります。最初のアルゴリズムでは、ソリューションを見つけるために階層のより多くのステップを登る必要があり、2番目のアルゴリズムでは、階層のステップはより高いが、より少なく登る必要があるそのうちの。このトレードオフの分析では、SDPの解決に使用されるアルゴリズムの正確な実行時間が重要であることは明らかです。これらのアルゴリズムの分析は、Navascuésなどによって行われます。中arXivの：0906.2731、彼らが書く場所： ... 個の変数と行列サイズnの SDPの時間の複雑さは（アルゴリズムの反復からわずかな追加コストが発生します）。mmmnnnO(m2n2)O(m2n2)O(m^2 n^2) で、別の紙の問題に対するこのアプローチは、最初に提案された、著者らは、同じバウンド与えるが、彼らはより慎重用語「使用算術演算の回数」の代わりに「時間の複雑さを」。 私の質問は2つあります。 どのアルゴリズム/バインドがNavascuéset alです。参照する？ Lovászの「多項式時間」という表現を、より粗くない（同じ仮定を維持する）ものに置き換えることはできますか？
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ConwayのPRIMEGAMEは2のすべての主要なべき乗を生成しますか？
私がこの興味深いトピックを読んで訪問したほとんどのサイトは、線に沿って何かを述べています 「このシーケンスで発生する2のべき乗（2自体以外）は素数指数を持つもののみです（MathWorld） または 「2の後、このシーケンスには次の2の累乗が含まれます。[...]これは2の主な累乗です。」（ウィキペディア） これらの慎重な定式化は、シーケンスで生成される2のべき乗のセットが2の素数のサブセットであることを意味します。 ただし、OEISは2つのセットが等しいことを完全に確信しているようです：http : //oeis.org/A034785 この結果は、http：//esolangs.org/wiki/Fractranのように、正確な言葉遣いに対してあまり信頼できないと思われる他のサイトでも引用されています 。 正直なところ、PRIMEGAMEの内部メカニズムを理解していないので、自分の質問に答えることはできません。ただし、PRIMEGAMEの面白さに大きな違いがあると思います。MathWorldのようなサイトが完全な事実を述べていないのはなぜですか？
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多項式時間で半正定値プログラムを解く
線形計画法（LP）は、楕円法またはKarmarkarのアルゴリズムのような内点法を使用して、多項式時間で正確に解くことができることを知っています。それらの多項式時間分離オラクルを設計できれば、超多項式（指数）数の変数/制約を持つLPも多項式時間で解くことができます。 半正定値プログラム（SDP）はどうですか？どのクラスのSDPを多項式時間で正確に解くことができますか？SDPを正確に解決できない場合、それを解決するためにFPTAS / PTASを常に設計できますか？これを行うことができる技術的条件は何ですか？多項式時間分離オラクルを設計できる場合、多項式時間で指数関数的な数の変数/制約を使用してSDPを解決できますか？ 組み合わせ最適化問題（MAX-CUT、グラフの色付け）で発生するSDPを効率的に解決できますか？因子内でしか解けない場合、定数因子近似アルゴリズム（Goemans-Williamson MAX-CUTアルゴリズムの0.878など）には影響しませんか？1 + ϵ1+ϵ1+\epsilon これに関する適切な参照は非常に高く評価されます。
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ロジックのCSアプリケーションのポインター
私は数学の大学院生で、論理の背景がしっかりしています。私は、有限モデル理論と強制理論と集合論の別の大学院コースと一緒に、論理の1年間の大学院コースを受講しました。ほとんどのCSテキストは、論理の非常に控えめな背景のみを想定しているようで、主に命題論理と1次論理の基本をカバーしています。 ロジックからのより重いマテリアルが使用されているCSアプリケーションの場所について、いくつかのポインターを取得したいと思います。私の興味の1つは、一般に型理論と形式的方法でしょう。モデルのチェックとプログラミング言語に関する入門書を読んで、良い読書を提案できる人はいますか？
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＃2-SATの＃P-completeサブファミリーとは何ですか？
短縮版。 ＃2-SATが#P -completeであるという元の証拠は、実際には、単調（変数の否定を含まない）であり、2部（その上の節によって形成されるグラフ）である＃2-SATのインスタンスを示します変数は2部グラフです）は#P -hardです。したがって、＃2-MONOTONE-SATと＃2-BIPARTITE-SATの2つの特別なケースは#P -hardです。フォーミュラの「自然な」特性の面で特徴づけられる特別なケースは他にもありますか？# P-ハードですか？ ロングバージョン。 問題＃2-SATは、計算のタスクです。いくつかの節の結合で構成されるブール式場合、各節は2つのリテラルまたは選言です—ブール文字列の数よう。そのようなが存在するかどうかを調べるのは簡単です。しかし、「列挙と信頼性の問題の複雑さ」のValiant 、SIAM J. Comput。、8、pp。410–421に示されているように、一般にソリューションの数を数えることは#P 完全です。ϕϕ\phixjxjx_jx¯jx¯j\bar x_jx∈{0,1}nx∈{0,1}nx \in \{0,1\}^nϕ(x)=1ϕ(x)=1\phi(x) = 1xxx 特に＃2-SATの場合、Valiantが実際に示すのは、2部グラフでマッチング（不完全なものを含む）をカウントすることで＃2-SATが減少し、非常に特殊な構造を持つ＃2-SATのインスタンスが生成されることです。 、 次のように。 まず、単調な問題は、置換によって、各変数に対してが式または発生するが、両方ではないという問題に等しいことに注意してください。特に、すべての変数に対して否定のみが発生する「単調減少」問題は、単調の場合とまったく同じくらい困難です。xjxjx_jxjxjx_jϕϕ\phix¯jx¯j\bar x_jx¯jx¯j\bar x_j グラフでエッジを使用する場合、変数を各エッジに割り当てることにより、マッチング（頂点を共有しないエッジのコレクション）に対応する単調減少2-SAT式を構築できます。エッジセットに含まれています。セットのプロパティマッチングであるが、入射ベクトルに相当し、X = χ M CNF式を満たすφ節で与えられるが（ˉ X E ∨ ˉ X F）エッジのすべての対について、E 、F ∈M X E M ⊆ EG=(V,E)G=(V,E)G = (V,E)mmmxexex_eM⊆EM⊆EM \subseteq Ex=χMx=χM\mathbf x = \chi_Mϕϕ\phi(x¯e∨x¯f)(x¯e∨x¯f)(\bar x_e \vee …
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複雑度クラスACを導入したのは誰ですか？
今日、私は下限を教え、生徒の1人が名前A Cの理由について尋ねました。公式の説明では、「A」は「Alternation」の略です。AC0AC0AC^0ACACAC 私は漠然とことを何年も前に言われて覚えているニック・ピッペンガースティーブ・クックは、名前のニック・ピッペンガー（ニックのクラス）の後に、後にニックが名前のS Cをスティーブ（スティーブのクラス）の後。NCNCNCSCSCSC 物語の一部はで、例えば、文書化されているウィキペディアと複雑さの動物園では、のために物語S Cが語られているここ。NCNCNCSCSCSC にも同様の歴史があるのではないかと思いますが、A Cの発明者への言及は見つかりませんでした。ACACACACACAC 誰かがを定義した人を知っていますか？ACACAC
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有界原子価グラフのグラフ同型の穏やかな紹介
グラフ同型（）があるグラフのクラスについて読んでいます。そのようなケースの1つは、ここで説明するように、有界原子価（各頂点の次数に対する最大値）のグラフです。しかし、私はそれがあまりにも抽象的であることがわかりました。誰かが説明的な性質のいくつかの参照を私に提案できるならば、私は感謝するでしょう。私はグループ理論に強いバックグラウンドを持っていないので、グループ理論を穏やかな方法で使用する論文を好みます（私のバックグラウンドはCSです）。PGIGIGIPPP
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より高い属のグラフの難しい問題
平面グラフの属はゼロです。トーラスに埋め込み可能なグラフの属数は最大1です。私の質問は簡単です： 平面グラフでは多項式的に解けるが、属1のグラフではNP困難な問題はありますか？ より一般的には、属gのグラフでは多項式的に解けるが、属&gt; gのグラフではNP困難な問題はありますか？
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双方向の決定論的カウンターオートマトンによって認識される単項言語
2D-CAの（双方向決定的一カウンタオートマトン）（ピーターセン、1994）以下の単項言語を認識することができる： POWER={02n∣n≥0}.POWER={02n∣n≥0}.\begin{equation} \mathtt{POWER} = \lbrace 0^{2^n} \mid n \geq 0 \rbrace. \end{equation} 2dcaで認識される他の非自明な単項言語はありますか？ まだ2D-CAのが認識できるかどうかは不明であること発言？SQUARE={0n2∣n≥0}SQUARE={0n2∣n≥0} \mathtt{SQUARE} = \lbrace 0^{n^2} \mid n \geq 0 \rbrace 定義：2dcaは、カウンターを備えた双方向の決定論的有限オートマトンです。2dcaは、カウンターの値がゼロかどうかをテストし、各ステップでカウンターの値を1ずつ増減します。
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どの結果が量子空間を興味深いものにしますか？
時間制限のある量子計算は明らかに非常に興味深いものです。空間限定の量子計算はどうですか？ 私は、対数空間の境界とさまざまな種類の量子オートマトンモデルを使用した量子計算の興味深い結果を数多く知っています。 一方で、アンバウンドエラー確率および量子空間は、任意の空間構築可能な同等であることが示されました（Watrous、1999 and 2003）。S （N ）∈ Ω （ログ（n ））s（n）∈Ω（ログ⁡（n）） s(n) \in \Omega(\log(n)) 量子空間を興味深いものにする特定の結果があるのではないかと思います（準対数空間モデルとオートマトンモデルを除外することによって）。 （このエントリを知っています：SPACE複雑度クラスの量子類似体。）
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理論的に健全な擬似乱数ジェネレータは実際に使用されていますか？
私の知る限り、実際の擬似乱数生成の実装のほとんどは、線形シフトフィードバックレジスタ（LSFR）、またはこれらの「Mersenne Twister」アルゴリズムなどの方法を使用しています。多くの（ヒューリスティック）統計テストに合格する一方で、たとえば、すべての効率的に計算可能な統計テストに対して疑似ランダムに見えるという理論的な保証はありません。しかし、これらの方法は、暗号化プロトコルから科学計算、銀行業（おそらく）まで、あらゆる種類のアプリケーションで無差別に使用されます。これらのアプリケーションが意図したとおりに動作するかどうかについて、ほとんど、またはまったく保証がないということは、少し心配です（何らかの分析は、入力として真のランダム性を想定しているためです）。 一方、複雑性理論と暗号化は、疑似乱数性の非常に豊富な理論を提供し、一方向関数の候補を使用して、思いつく可能性のある効率的な統計テストをだます疑似乱数ジェネレーターの候補構成さえあります。 私の質問は次のとおりです。この理論は実用化されましたか？暗号化や科学計算などのランダム性の重要な用途には、理論的には正しいPRGが使用されることを願っています。 余談ですが、LSFRをランダム性のソースとして使用する場合、クイックソートなどの一般的なアルゴリズムがどれだけうまく機能するかについての限られた分析を見つけることができました。KarloffとRaghavanの「ランダム化されたアルゴリズムと擬似乱数」を参照してください。
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