タグ付けされた質問 「analysis-of-algorithms」

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コルモゴロフ複雑度を入力「サイズ」として使用
一連の問題インスタンス(入力の可能性)がある計算問題、たとえば3-SATがあるとしますSSS。通常、アルゴリズムの分析または計算の複雑さの理論では、いくつかのセット 長さのすべての入力の、及び関数、いくつかのソリューションアルゴリズムの実行時間が得られる入力に。最悪の場合の時間シーケンスを実行して、次にある 私(N )= { W ∈ S:| w | = n }I(n)={w∈S:|w|=n}I(n) = \{w \in S : |w| = n\}nnnT(w )T(w)T(w)AAAwwwAAAfn= 最大W ∈ I(n )T(w )。fn=maxw∈I(n)T(w). f_n = \max_{w \in I(n)} T(w). コルモゴロフ複雑度すべての入力のセット を定義し、シーケンス ここで、は平均実行時間シーケンスです。ただし、入力の「サイズ」は、長さではなくコルモゴロフの複雑さです。N F K N = 1私K(N )= { W ∈ S:K(w )= n }IK(n)={w∈S:K(w)=n} I^K(n) …

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半正定値プログラミングに基づくアルゴリズムによる多項式高速化
これは、A。Palによる最近の質問のフォローアップです。多項式時間で半正定値プログラムを解く。 私はまだ、半正定値プログラム(SDP)の解を計算するアルゴリズムの実際の実行時間について困惑しています。ロビンが上記の質問に対するコメントで指摘したように、SDPは一般に多項式時間で解くことはできません。 SDPを慎重に定義し、原始実行可能領域がどれだけ適切に制限されているかを条件とする場合、楕円法を使用して、SDPの解決に必要な時間に多項式限界を与えることができます(セクション3.2を参照)L.Lovász、半正定プログラムおよび組み合わせ最適化)。そこに与えられた限界は、一般的な「多項式時間」であり、ここでは、より粗くない限界に興味があります。 動機は、量子分離可能性問題に使用される2つのアルゴリズムの比較から得られます(実際の問​​題はここでは関係ないので、古典的な読者の読みを止めないでください!)。アルゴリズムは、SDPにキャストできるテストの階層に基づいており、階層内の各テストはより大きなスペースで行われます。つまり、対応するSDPのサイズが大きくなります。比較したい2つのアルゴリズムは、次のトレードオフが異なります。最初のアルゴリズムでは、ソリューションを見つけるために階層のより多くのステップを登る必要があり、2番目のアルゴリズムでは、階層のステップはより高いが、より少なく登る必要があるそのうちの。このトレードオフの分析では、SDPの解決に使用されるアルゴリズムの正確な実行時間が重要であることは明らかです。これらのアルゴリズムの分析は、Navascuésなどによって行われます。中arXivの:0906.2731、彼らが書く場所: ... 個の変数と行列サイズnの SDPの時間の複雑さは(アルゴリズムの反復からわずかな追加コストが発生します)。mmmnnnO(m2n2)O(m2n2)O(m^2 n^2) で、別の紙の問題に対するこのアプローチは、最初に提案された、著者らは、同じバウンド与えるが、彼らはより慎重用語「使用算術演算の回数」の代わりに「時間の複雑さを」。 私の質問は2つあります。 どのアルゴリズム/バインドがNavascuéset alです。参照する? Lovászの「多項式時間」という表現を、より粗くない(同じ仮定を維持する)ものに置き換えることはできますか?

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既知のアルゴリズムのより良い境界を見つけたのはいつですか?
実証済みの境界で公開されたアルゴリズムの興味深いインスタンスがありますか?また、厳密に優れた境界が後に公開された場所はありますか?より良い境界を持つより良いアルゴリズムではありません-明らかにそうです!しかし、既存のアルゴリズムのより良い限界につながるより良い分析 行列の乗算はこれの例だと思っていましたが、Coppersmith–Winogradとその友人をよりよく理解しようと試みた後、(おそらく間違って!)それについて話をしました。

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単純な無向グラフでのランダムウォークと平均打撃時間
ましょうG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)上の単純無向グラフであるnnn頂点とmmmエッジ。 Gのランダムスパニングツリーを生成するためのウィルソンアルゴリズムの予想実行時間を決定しようとしています。、それがあることが示されているO (τ )ここで、τは、ある平均打撃時間:τ = Σ V ∈ V π (V )⋅ H (U 、V )、ここで:GGGO(τ)O(τ)O(\tau)ττ\tauτ=∑v∈Vπ(v)⋅H(u,v),τ=∑v∈Vπ(v)⋅H(u,v),\tau = \sum_{v \in V} \pi(v) \cdot H(u, v), ππ\piは定常分布です π(v)=d(v)2mπ(v)=d(v)2m\pi(v)=\frac{d(v)}{2m}、 uuuは任意の頂点であり、 H(u,v)H(u,v)H(u,v)は、ヒット時間(AKAアクセス時間)です。つまり、頂点 uから始まり、頂点アクセスするまでの予想ステップ数です。vvvuuu 平均打撃時間の一般的な上限は何ですか?そして、平均打撃時間を最大化する最悪の場合のグラフは何GGGですか? 私の質問を明確にするために、私は計算や詳細な証明を必要としません(将来的にこの質問に遭遇する他の人々にとって役立つかもしれませんが)。個人的には、引用で十分です。 この論文では、予想されるカバー時間(すべての頂点を訪れた最初の時間)で機能するBroderの別のアルゴリズムについて言及しています。そして、平均打撃時間は常にカバータイムよりも短いと言われています。しかし、それだけで拘束さ漸近与えΘ (n個)のための最もグラフ(すなわち、エクスパンダグラフでそれを対比する)Θ (nはログN )(幾分より包括的な定義に最もグラフのブローダーによってほとんどを)。Θ(n)Θ(n)\Theta(n)Θ(nlogn)Θ(nlog⁡n)\Theta(n \log n) これは、平均打撃時間が、カバー時間がΘ (n 3)であるグラフの例を示しています。これは後者の最悪のケースであることが知られているが、彼は前者の最悪のケースについて特に何も述べていません。これは、ウィルソンのアルゴリズムの最悪のケースがO (n 2)とO (n 3)の間のどこかに入る可能性があることを意味します。Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2)Θ(n3)Θ(n3)\Theta(n^3)O(n2)O(n2)O(n^2)O(n3)O(n3)O(n^3) 私が知っているウィルソンのアルゴリズムの2つの公的に利用可能な実装があります。1つはBoost Graph Libraryにあり、もう1つはgraph-toolにあります。前者のドキュメンテーションは実行時間について言及していませんが、後者は述べています: ランダムグラフの一般的な実行時間はです。O (n ログn …
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