既知のアルゴリズムのより良い境界を見つけたのはいつですか？

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実証済みの境界で公開されたアルゴリズムの興味深いインスタンスがありますか？また、厳密に優れた境界が後に公開された場所はありますか？より良い境界を持つより良いアルゴリズムではありません-明らかにそうです！しかし、既存のアルゴリズムのより良い限界につながるより良い分析

行列の乗算はこれの例だと思っていましたが、Coppersmith–Winogradとその友人をよりよく理解しようと試みた後、（おそらく間違って！）それについて話をしました。

ho.history-overview analysis-of-algorithms

— ロブ・シモンズ
ソース

理想的な例は、行列乗算です。実際、最近の改善点はすべて、より優れた分析です（Le Gall、Williamsなど）。

— ルウィン

Lwins-それはそうかもしれないと思っていましたが、いくつかの論文をざっと読んで、アルゴリズムと分析の両方がわずかに異なっていると思いました。もっと深く見る必要があるかもしれません。

— ロブ・シモンズ

これは、2番目の手の伝聞であるため、半分の答えです。Buechiオートマトン（dl.acm.org/citation.cfm?id=1398627）の決定に取り組んでいるとき、Safraは元々、2次指数を持つように構造を分析しました。次に、構造を書き留めた後、誤解のために、彼はより良い（最適な）

指数になりました。

n \log n

$n\log n$

— シャール

モーションプランニングの問題を調べることをお勧めします-いくつかのケースがあったように感じます。また、IIRCシンプレックスアルゴリズムの正確な複雑さは、かなり長い間研究の問題でした。

— スティーブンスタドニッキー

1

わずかに異なりますが、3SATインスタンスの節の

を満たす入力の存在証明は、より慎重な分析によって明示的なアルゴリズムに改善されました。

7 m / 8

$7m/8$

— ステラ

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アルゴリズム、連合は-検索 Tarjan ^1が持っていた複雑示した $n \alpha(n)$ 、 $\alpha(n)$ 逆アッカーマン関数であるが、いくつかの人々によって、以前に分析されていました。ウィキペディアによると、それはGallerとFischer ²によって発明されましたが、これを正しく実行するために必要なアルゴリズムのすべてのコンポーネントが揃っていなかったため、これは間違っているようです。

論文の簡単なスキャンに基づいて、アルゴリズムはHopcroftとUllman ³によって発明されたようです。HopcroftとUllman は、（誤った） $O(n)$ 時間制限を与えました。次に、フィッシャー⁴がプルーフの間違いを発見し、 $O(n \log\log n)$ 時間制限。次は、ホップクロフトとウルマン^5が得られた $O(n \log ^*n)$ Tarjanその後、結合時間、¹（最適）を求める $O(n \alpha(n))$ に結合した時間。

¹ RE Tarjan、「線形セットユニオンアルゴリズムではないが効率が良い」（1975）。
² BS GallerおよびMJ Fischer、「改良された等価アルゴリズム」（1964）。
³ JE HopcroftとJD Ullman、「線形リストマージアルゴリズム」（1971）。
⁴ MJフィッシャー、「等価アルゴリズムの効率」（1972）。
⁵ JE HopcroftおよびJD Ullman、「セットマージアルゴリズム」（1973）。

— ピーター・ショー
ソース

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このデータ構造の歴史は私には少し不明瞭であり、それを調査することは素晴らしいことです。GallerとFischerの記事をざっと読みましたが、Disjoint Sets Forest（DSF）のデータ構造を説明しているようですが、クリティカルパス圧縮（PC）と加重結合（WU）のヒューリスティックはありません。HopcroftとUllmanは、Knuthを引用して、DSFをPCあり、WUなしでTritterに帰属させます。PCとWUの両方を備えたDSFが、HopcroftとUllmanの論文の前に発表された論文で提案されたかどうかはわかりませんが、それがあったとしても驚かないでしょう。

— サショニコロフ

1

@Sasho：書類の簡単なスキャンに基づいているため、これはすべてチェックする必要があります。Tarjanは、「等価アルゴリズムの効率」（1972）で、PCとWUの両方のDSFをMichael Fischerに帰属させ、

O (n \log \log n)

$O(n \log\log n)$ 実行時間ています。スキャンフィッシャーの論文、彼は「アルゴリズムをマージ線形リスト」にホップクロフトとウルマンのアルゴリズムを帰するようだが、彼らは与える

それのための時間を実行している、フィッシャーショーの証明が正しくありません。Tarjanは、「セットマージアルゴリズム」のHopcroftとUllmanは、

バウンドを与えることで自らを償還すると言い

。

Θ (n)

$\Theta(n)$

O (n \log^{*} n)

$O(n \log^* n)$

— ピーターショー

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のPaturi、Pudlak、SaksおよびZane（PPSZ）のアルゴリズムは、実行時間がであり、より良い限界があることが知られていました。 $k\text{-} \mathrm{SAT}$ $O(1.364^n)$ $3\text{-}\mathrm{SAT}$ $O(1.308^n)$ 一意の満足できる割り当てを持つことが保証されている数式の場合。後のHertliは、この改善された実行時境界が一般的なケースにも当てはまることを示す改善された分析を行い、PPSZが最適なアルゴリズムであることを示しました。 $3\text{-}\mathrm{SAT}$ 当時知られていました。

— ヤン・ヨハンセン
ソース

これは本当に満足のいく答えです！それとUnion Findの例は、私が望んでいたことの最良の例だと思います。

— ロブ・シモンズ

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行き詰まり攻撃上の離散対数の計算に適用される一般的な数フィールドふるい（の分析に言及 $\mathbb{F}_p$ 3ページの左上を参照して、tightendた下降工程）。これは事前に計算できない唯一のステップであるため（ $\mathbb{F}_p$ が固定されている場合）、その効率は攻撃に役立ちました。

最初の分析はであるように思われるゴードン92において、降下を事前計算と同様に原価計算し、 $L_p(1/3, 3^{2/3})$ 。タイトな分析からのようですBarbulescuの論文降下がで負けましされ、 $L_p(1/3, 1.232)$ ：、

L_{p} (v, c) = \exp ((c + o (1)) (\log p)^{v} (\log \log p)^{1 - v})

$L_p(v, c) = \exp((c+o(1))(\log p)^v (\log \log p)^{1-v})$ これは技術的には予想コストであり、上限ではないことに言及する価値があります。これはまだ質問の精神のようですが、探しているものでない場合は削除します。

— マーク
ソース

1

心からありがとうございます！

— ロブ・シモンズ

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$k$ $O(n^{k+o(1)})$ $O(n^{2k-2})$ $O(n^{1.98k+O(1)})$

$\Omega(n^k)$

注： Jason Liによる講演（および対応するスライド）は、TCS + Webサイトで見つけることができます。

$k$

— クレメントC
ソース

4

$k$ $(2k-1)$ $k$

— チャンドラ・チェクリ
ソース

4

の $3$ -Hitting Set問題には、「より良い分析」の反復がいくつかありました（フェルナウの論文[1] [2]）を参照）。これらの論文の前のアルゴリズムには、「エッジを選択」などの任意の選択肢がありましたが、選択肢は特定の方法で、具体的に選択された、それは改善の出番である、より洗練された分析が可能になります。そして、私は彼の付録を考える1より洗練された分析（サブ問題/サブ構造のカウント）を提供し、より良い再発と非常に良い実行時間を導きます。パラメータ化された複雑さの文献には、分析に別の変数を追加するとランタイムが向上する可能性があるような例がいくつかあると思いますが、私は数年前からそのゲームをやめており、特定のものを考えることはできません瞬間。FPTおよびPTASの分野では、論文タイトルで「改善された分析」を探すときに出てくる多くの論文があります。

選択肢カウントを同じアルゴリズムとして指定する場合（union-findの深度ランクヒューリスティックなど）、Edmonds-KarpアルゴリズムはFord-Fulkersonの「改善された分析」であり、アルゴリズムを持つ他の問題がたくさんあると思います新しい選択ルールによりランタイムが改善されました。

次に、既存のアルゴリズムの償却分析の全体があります（この説明の下でユニオンファインドが適合すると思います、ここに別のものがありますhttps://link.springer.com/article/10.1007/s00453-004-1145-7）

— ジム
ソース

新しい選択をすることは、私が探していたものに近いように感じますが、まだそこにありません-ある意味では、より詳細なアルゴリズムは「異なるアルゴリズム」です-しかし、これらはまだ非常に興味深い例です！

— ロブ・シモンズ