有界原子価グラフのグラフ同型の穏やかな紹介

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グラフ同型（）があるグラフのクラスについて読んでいます。そのようなケースの1つは、ここで説明するように、有界原子価（各頂点の次数に対する最大値）のグラフです。しかし、私はそれがあまりにも抽象的であることがわかりました。誰かが説明的な性質のいくつかの参照を私に提案できるならば、私は感謝するでしょう。私はグループ理論に強いバックグラウンドを持っていないので、グループ理論を穏やかな方法で使用する論文を好みます（私のバックグラウンドはCSです）。 $GI$ $P$

— ドゥルガーダッタ
ソース

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私は本を（残念ながら）持っていませんが、JohannesKöbler、UweSchöning、JacoboToránによるグラフ同型問題：その構造的複雑性には、有界度の場合の証明が含まれているかもしれません。確認してください。

— 伊藤剛

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@TsuyoshiIto：これは、GIとかなり一般的な構造の複雑さを十分に紹介する優れた本ですが、有界度のケースについては（もしあれば）多くは含まれていません。有界度のケースへの穏やかな紹介は知りませんが、グループ理論の方法と密接に結びついているので、グループ理論を「穏やかにのみ」（OPが要求するように）使用する説明があるとは思えません。

— ジョシュアグロチョウ

概要を説明したいのですが、すぐにそれを行います！

— ジム

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有界次数グラフ同型のアルゴリズムは（順列）グループ理論と非常に密接に結びついているため、「穏やかにのみ」グループを使用する紹介があるとは思えません。ただし、Paolo CodenottiのPh.Dに相談することもできます。より完全な背景のための論文。彼は有界次数グラフ同型を正確にカバーしませんが、それに必要なツールをカバーします（そして、残りの論文は有界ランクのハイパーグラフについてであり、一般的なグラフ同型の最もよく知られたアルゴリズムを有界ランクのハイパーグラフのケースに拡張します）。

また、必要な背景の大部分をカバーし（第2章「基本概念」、47ページです）、本のGroup-Theoretic Algorithms and Graph Isomorphismが便利であり、公開されているほとんどの論文よりもはるかにゆったりと説明されていることもありますトピック。

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

1

表記： レッツのグラフであってのエッジ。頂点セットはからの距離の頂点のセットであり、をの高さとします。 $X = (V,E)$ $e = (v_1, v_2)$ $X$ $V_k$ $k$ $e$ $h$ $X$

定義によれば、、および。サブセット、聞かせの縁の定義されたままであります $V_k$ $V= V_0 \cup V_1 \dots V_h$ $V_{(h+1)}= \emptyset$ $E_k$ $X(0 \leq k \leq h)$

$E_k = \{ (u,w) | u \in V_k, w \in V_ k \cup V_{(k+1)} \}.$

部分グラフは、 $X_i$

$X_k= (V_0 \cup V_1 \dots \cup V_k, E_0 \cup E_1 \dots E_{(k-1)} \}$

例えば、 $X_2 =\{ (V_0 \cup V_1 \cup V_2, E_0 \cup E_1)\}$

グラフの自己同型群である固定されています。場合の発電装置である、我々は書き込み、例えば、それがあることは明らかである $Aut_e(X)$ $X$ $e$ $B$ $Aut_e(X_k)$ $\langle B \rangle = Aut_e(X_k)$ ここで、は頂点の順列です。 $Aut_e(X_0)=\langle(v_1,v_2)\rangle$ $(v_1,v_2)$ $v_1, v_2$ $X$

原理の自己同型群の生成セットの構築は、GI（グラフ同型）完全問題です[1]。したがって、の自己同型群の生成セット（多項式時間でバランスを制限している）を計算できれば、多項式時間でGIを解くことができます。それで、を決定したいと思います。 $X$ $X$ $Aut_e(X)$

技術：

を構築し。ごとに、を構築します $X_0, X_1..... X_h$ $X_k$ $Aut_e(X_{(k)})$

順列は、自己同型に拡張できることに注意してください。 $Aut_e(X_{(k) })$ $Aut_e(X_{(k+1)})$

したがって、ジェネレーターは、ジェネレーターから取得できます。 $Aut_e(X_{(k+1)})$ $Aut_e(X_{k})$

ジェネレータを構築するために、構造タイプが操作されます。の構造タイプは、有限クラスに分類できます。たとえば、3価の場合、タイプは6つしかありません（実際に発生する可能性があるのはそのうち5つだけです）。 $E_k$ $E_k$

のエッジをタイプに分類し、それらをファミリーにグループ化します。これにより、多数の一意のラベルを作成できます。 $E_k$

固定価の場合、ラベルの数は少なくなります。この時点で、setwise-stabilizersの概念を使用して、特定のラベルに作用する順列を見つけます。その過程で、の生成元を見つけます。次に、前述のように、のジェネレーターを使用して、のジェネレーターを見つけます。このように進めて、を取得します $Aut_e(X_{(k) })$ $Aut_e(X_{(k) })$ $Aut_e(X_{(k+1) })$ $Aut_e(X)$

— ジム
ソース

[1]マドル、ルドルフ。、グラフ同型カウント問題、Informに関するメモ。処理する。レット。8（1979）、いいえ。3、131〜132。

— ジム