ロジックのCSアプリケーションのポインター

私は数学の大学院生で、論理の背景がしっかりしています。私は、有限モデル理論と強制理論と集合論の別の大学院コースと一緒に、論理の1年間の大学院コースを受講しました。ほとんどのCSテキストは、論理の非常に控えめな背景のみを想定しているようで、主に命題論理と1次論理の基本をカバーしています。

ロジックからのより重いマテリアルが使用されているCSアプリケーションの場所について、いくつかのポインターを取得したいと思います。私の興味の1つは、一般に型理論と形式的方法でしょう。モデルのチェックとプログラミング言語に関する入門書を読んで、良い読書を提案できる人はいますか？

ここでは、高度な数理論理学のバックグラウンドを持つ人にアピールするアイデアに焦点を当てながら、いくつかの領域を簡単に確認しました。

有限モデル理論

コンピューターサイエンスの観点からの古典的なモデル理論の最も単純な制限は、有限宇宙上の構造を研究することです。これらの構造は、リレーショナルデータベース、グラフ、およびコンピューターサイエンスのあらゆる場所で発生するその他の組み合わせオブジェクトの形で発生します。最初の観測は、有限モデルに制限されると、1次モデル理論のいくつかの基本定理が失敗することです。これらには、コンパクト性定理、ゴーデルの完全性定理、および超積構造が含まれます。Trakhtenbrotは、古典的な1次論理とは異なり、有限モデルに対する充足可能性は決定できないことを示しました。

この分野の基本的なツールは、ハンフの局所性、ガイフマンの局所性、およびエーレンフェヒト-フライスのゲームの多数のバリエーションです。研究されるトピックには、常に有限モデルに焦点を当てた、無限論理、カウントを伴う論理、固定小数点論理などが含まれます。一次論理の有限変数フラグメントの表現性に焦点を当てた研究があり、これらの論理には小石ゲームによる特徴があります。照会のもう1つの方向は、有限モデルへの制限を乗り切る古典的な論理の特性を識別することです。ロスマンからのその方向での最近の結果は、特定の準同型保存定理がまだ有限モデルに適用されることを示しています。

1. 有限モデル理論、エビングハウスおよびフルム
2. 有限モデル理論の要素、リブキン
3. Ehrenfeucht-Fraisseゲームの勝利戦略について、Arora and Fagin、1997年。
4. 準同型保存定理、ロスマン

命題計算$\mu$

60年代後半の一連の作業により、プログラムの多くの特性が、固定小数点に関する推論をサポートする命題論理の拡張で表現できることが示されました。モーダル計算は、この期間に開発された1つのロジックであり、自動化された形式的手法における幅広いアプリケーションを発見しました。多くの形式的なメソッドは時相論理、またはホアスタイルの論理に接続されており、この多くはμ計算の観点から見ることができます。実際、μ計算は時相論理のアセンブリ言語であると言われました。$\mu$$\mu$$\mu$

計算を紹介する彼の論文で、Kozenは公理化を行い、それが論理の制限された断片に対してのみ健全で完全であることを証明しました。Walukiewiczが（無限オートマトンに基づいて）証明を与えるまで、完全性の証明は論理コンピューターサイエンスの大きな未解決の問題の1つでした。μ計算のモデル理論には、 多くの豊富な結果があります。モーダルロジックに関するバンベンテムの定理と同様に、ジャニンとワルキビッチは、μ計算がモナド2次ロジックのバイシミュレーション不変フラグメントと表現的に同等であることを証明しました。$\mu$$\mu$$\mu$$\mu$-計算は、パリティゲームと無限ツリー上のオートマトンの点でも特徴づけられています。このロジックの充足可能性の問題はEXPTIME完了であり、EmersonとJutlaは、ロジックに小さなモデルプロパティがあることを示しました。Bradfieldは、計算の交代階層が厳密であることを示し、Berwangerは変数階層も厳密であることを示しました。この分野で使用される重要な古典的ツールは、ラビンの定理とマーティンの決定性定理です。$\mu$

1. 命題計算の結果、Kozen$\mu$、1983
2. 初歩 -calculus$\mu$アーノルドとNiwinski、2001
3. Kozen の命題 -Calculus の公理化の完全 性$\mu$、Walukiewicz 1995
4. 様相論理と計算$\mu$、ブラッドフィールドとスターリング、2001
5. モーダルmu-calculus交替階層は厳密です、Bradfield、1996
6. mu-calculusの変数階層はstrictです、Berwanger、E。Grädel、およびG. Lenzi、2005

線形時相論理

線形時相論理は、コンピュータープログラムの動作について推論するために、哲学的論理からコンピューターサイエンスに採用されました。不変性（エラーがない）や終了などのプロパティを表現できるため、これは優れたロジックと見なされました。時相論理の証明理論は、MannaとPnueli（および他の人）によって、それぞれの記事と本で開発されました。モデル検査とLTLの充足可能性の問題は、どちらも無限語上のオートマトンの観点から解決できます。

また、Pnueliは、プログラムに関する推論のロジックを紹介した彼の元の論文で、LTLに関する基本的な結果を証明しました。VardiとWolperは、LTLの数式をBuchiオートマトンに簡単にコンパイルできるようにしました。時相論理への接続により、LTLからオートマトンを効率的に導出するアルゴリズム、およびBuchiオートマトンの決定と補完を行うアルゴリズムの集中的な研究が行われました。Kampの定理は、LTLがsinceおよびuntilであることを示しています$\omega$$\mu$$\mu$

1. プログラムの時相論理、Pnueli 1977
2. 教会からPSL以前、ヴァルディ、2008年
3. 線形時相論理へのオートマトン理論的アプローチ、Vardi and Wolper、1986
4. リアクティブおよびコンカレントシステムの時相論理：仕様、マナ、およびプヌエリ
5. アンティカル階層および時相論理のためのEhrenfeucht-Fraïsséゲームのその他のアプリケーション、Etessami and Wilke、2000

計算ツリーロジック

$\mu$

有限構造上のCTLのモデル検査問題は、多項式時間にあります。CTL *のモデルチェックの問題はEXPTIME完了です。CTL *の公理化は、レイノルズ2001によって最終的に解決された挑戦的な未解決の問題でした。二分木上の単項二次論理のフラグメント。HirschfeldとRabinovichによる後の特性評価では、CTL *はパスの定量化を備えたMSOのバイシミュレーション不変フラグメントと表現的に同等であるということです。

1. 「ときどき」と「決してではない」の再考：分岐対線形時間時相論理、Emerson and Halpern、1986
2. CTLの表現力について、Moller、Rabinovich、1999
3. 二分木のモナド理論における計算ツリー論理CTL *およびパス数量化記号、Hafer and Thomas、1987
4. 完全計算ツリーロジックの公理化、レイノルズ、2001

無限の言葉の言語

$\omega$

$\omega$$\omega$$\omega$-言葉。さらに、基本トポロジを使用して、すべての線形時間特性が安全性と活性特性の交差として表現できることを示しました。この結果は、複雑なプロパティチェッカーを構築するのではなく、安全性と活性チェックを構築することで十分であることを意味するため、重要な実用的結果をもたらします。さらに削減すると、不変性チェッカーと終了チェッカーを作成するだけで十分であることがわかります。安全性と活性特性は、ManoliosとTreflerによってツリーに拡張され、最近では、クラークソンとシュナイダーによって、ハイパープロパティフレームワークのトレースセットに拡張されました。

1. 無限の言葉：オートマトン、セミグループ、ロジックとゲーム、ペリンとピン、2004
2. $\omega$
3. $\omega$
4. ωの構文的合同について—言語、MalerおよびStaiger、1993

無限の単語のオートマトン

言語がある場合、コンピューター科学者にはオートマトンがあります。無限の単語と無限の木に関するオートマトンの理論を入力してください。無限の単語のオートマトンが有限の単語のオートマトンから2年以内に登場したにもかかわらず、この基本的なトピックが標準的なコンピューターサイエンスのカリキュラムでカバーされることはめったにありません。無限の単語およびツリー上のオートマトンは、非常に堅牢なアプローチを提供し、非常に豊富なロジックファミリの充足可能性の決定可能性を証明します。

$\omega$

1. 無限木の二次理論とオートマトンの決定可能性、ラビン、1969
2. 無限物体のオートマトン、トーマス、1988
3. オートマトン：論理からアルゴリズムまで、Vardi、2007

無限のゲーム

論理的で無限のゲームは研究の活発な分野です。ゲーム理論の概念は、非決定性と並列性（代替）、プログラムとその環境、普遍的および実存的定量化、ボックスとダイヤモンドのモダリティなどの二重性のあらゆるところにコンピューターサイエンスに現れています。上記のさまざまなタイプの非古典的なロジックのプロパティを調べるのに最適な方法です。

オートマトンの受け入れ基準と同様に、ゲームの勝利条件は異なりますが、多くは同等であることが示されています。古典的な結果について尋ねたので、ボレルの決定性定理とゲイル・スチュワートのゲームは、私たちが研究しているいくつかのゲームモデルの背景にしばしば慎重に位置しています。私たちの時代の差し迫った質問の1つは、パリティゲームの解決の複雑さです。Jurdzinskiは戦略改善アルゴリズムを提供し、勝者の決定は複雑度クラスUPとcoUPの共通部分にあることを示しました。Jurdzinskiのアルゴリズムの正確な複雑さは、フリードマンが2009年に指数時間の下限を与えるまで開かれていました。

1. パリティゲームで勝者を決めるのは、UP∩co -UP、Jurdzinski、1998年です。
2. μ計算のゲーム、NiwinskiおよびWalukiewicz、1996
3. 知られているパリティゲーム戦略改善アルゴリズムの指数下限、フリードマン、2009年

Edmund M. Clarke、Orna Grumberg、Doron A. Peled： モデルチェック。MIT Press 1999は、（私にとっては）モデルチェックに関する素晴らしい本です。

グリン・ウィンスケル： 入門：プログラミング言語の形式意味論。MIT Press 1994は、プログラミング言語に関する標準的な教科書の1つです。

Mordechai Ben-Ari： コンピュータサイエンスの数理論理学。Springer 2001は、おそらくあなたが探しているものです。

データベース理論は、ロジックの多くのアプリケーションを提供する広大な分野です。記述の複雑さと有限モデル理論は密接に関連した分野です。私が知る限り、これらの領域はすべて、証明論的というよりも代数的スタイルの論理（バーコフとタルスキの足跡をたどる）を使用する傾向があります。しかし、ピーター・ブネマン、レオニード・リブキン、ウェンフェイ・ファン、スーザン・デイビッドソン、リムスーン・ウォン、大堀At、および1980年代から90年代にUPennで働いていた他の研究者の仕事のいくつかは、プログラミング言語理論とデータベースを統一しようとしました。これには、両方のスタイルのロジックに慣れている必要があります。同じことは、ジェームス・チェイニーの当てはまりますそしてフィリップ・ワドラー。

特定の参照に関しては、便利な参照用に標準の教科書をオンラインで入手できます。

• Serge Abiteboul、Richard Hull、Victor Vianu。 データベースの基礎、1995年 。http：//webdam.inria.fr/Alice/

残念ながら、この急速に変化する分野に関する最新の一般的な教科書や調査はありません。2つの古い調査が役立つことがわかりました。最初、

• ヤン・ヴァン・デンBussche、データベース理論におけるアルフレッド・タルスキーのアイデアの応用、CSL 2001 DOI：10.1007 / 3-540-44802-0_2

Tarskiと特定のサブフィールドである制約データベースの間のドットを接続する方法を示します。第二に、

• ビクターヴィアヌ、データベースと有限モデル理論、記述的複雑さと有限モデル：DIMACSワークショップの議事録、1996年。http：//leo.saclay.inria.fr/publifiles/gemo/GemoReport-107.ps.gz

ピッチ（1996スタイル）のデータベース理論を有限モデル理論家に提示し、その過程で、データベースのロジックの多くの興味深いアプリケーションを強調しています。最近の研究（XMLの理論、出所、ストリーミングモデル、グラフデータベースなど）では、引用された研究論文を読むのが合理的なアプローチです。

Michael HuthとMark Ryan：コンピューターサイエンスの論理、Cambridge University Press、2004年。

この本は、コンピュータサイエンスでロジックがどのように役割を果たすかについての一般的な紹介として強く推奨します。

CSでのロジックの主な使用法は、Hoareロジックとも呼ばれるプログラムロジックです。

$2 \in \sqrt(\pi^{17})$

モーダルロジックの研究でも同様の状況が得られますが、モーダルロジックは（もう少し単純化して）1次ロジックほど表現力はありませんが、表現できるものは、より短い式と証明で表現します。

ZFCの適切なフラグメントを特定することは、単純なプログラミング言語にとって難しいことではありませんが、プログラミング言語がより多くの機能を獲得するにつれて急速に困難になります。過去数年は、この取り組みにおいて大きな進歩を遂げました。

T. Hoareによる「コンピュータプログラミングの公理的根拠」という論文は、プログラムロジックの研究を本格的に確立し、読みやすく、おそらくフィールドへの進出を開始する良い方法と見なされます。同じ論理は、@ vb leが言及したWinskelの著書「プログラミング言語の形式的意味」でより詳細に研究されています。

型理論は同様の観点から見ることができます。型理論の主なセールスポイントは、（純粋に機能的な）プログラムで証明を特定することです。これにより、概念の優れた経済性と強力な自動化（型推論と対話型定理証明の形で）が実現します。型理論が証明を整理するエレガントな方法であることの代価は、純粋に機能的ではないプログラミング言語ではそれほどうまく機能しないように見えることです。

型理論に基づいた方法でプログラムロジックを紹介する最近の完全に現代的なテキストは、Pierce et alのSoftware Foundationsです。（a）プログラム検証の研究の最先端に近づき、教科書として、コンピュータサイエンスと数学が将来どのように教えられるかを垣間見ることができるでしょう。

言語のプログラムロジックが開発されたら、次のステップは自動化、または部分自動化です。非自明なプログラムの証明を作成するのは労働集約的であり、できるだけ多くのことをマシンに実行してもらいたいです。そのような自動化を行うための正式な方法に関する多くの現在の研究。

コンピュータサイエンスには非常に強力な論理の伝統があります。私たちが研究する問題と計算論理コミュニティの美学は、数理論理コミュニティの美学と同一ではありません。モデル理論、一次論理および集合論のメタ理論の重要な発展が、計算論理で一般的に使用されないことは間違いありません。ウルトラフィルター、非標準分析、強制、パリ・ハリントンの定理、および古典的な論理で重要と考えられる他の多くの魅力的な概念を見たり、使用したりすることなく、計算ロジを研究できます。

数学を研究するために論理的アイデアだけでなく数学を研究するために数学的なアイデアを適用するように、コンピューターサイエンスを研究するために論理を適用し、論理を研究するために計算的視点を適用します。この異なる焦点は、私たちにとって重要な結果のタイプにかなり劇的な結果をもたらします。

ロジックとコンピューターサイエンスに関するジョンバエズからの引用です。私は高度な数学的論理にあまり精通していないので、まったく同じ見方をしていません。

私が学部生だったとき、私は論理と数学の基礎に非常に興味がありました---私は常に私が手に入れることができる最も驚くべき概念と、ゲーデルの定理、ローウェンハイム-スコレムの定理などを探していました私の知る限り、量子力学と一般相対性理論ですぐそこにいます。[...]当時、ロジックは世紀の初期よりも革命的ではなくなったと感じていたのを覚えています。論理は他の数学と同様に数学の分野になり、ツェルメロ・フランケル公理​​のモデルのあいまいな性質を研究するようになり、それらの公理に暗示されている基本的な仮定に疑問を投げかけ、新しい異なるアプローチを追求することを敢えてしているように見えました。[...]

とにかく、今では適切なものを読んでいないだけだということが、今でははっきりとわかりました。私は、ロタはロジックで本当に面白い作品は現在、「コンピュータ科学」の名の下に行くと言っていると思います[...] --Week 40、今週の検索、ジョン・バエズ

コンピュータサイエンスのロジックは、広大で急速に発展している分野です。古典的なロジックのあらゆる観点を修正して、計算ロジックの観点を導き出すことができます。数学的論理に関するウィキペディアのエントリは、フィールドを集合論、モデル理論、証明理論、再帰理論に分割します。これらの領域を本質的に取得し、計算フレーバーを追加して、計算ロジックのサブフィールドを取得できます。

モデル理論非古典的論理のモデル理論と古典的論理の非古典的モデルを研究したい。つまり、代数のような古典的なモデルとは対照的に、モーダル、時間、サブ構造のロジックを研究し、木、単語、有限モデルのロジックを研究するということです。2つの基本的な問題は、充足可能性とモデル検査です。どちらも非常に実用的かつ理論的に重要です。対照的に、これらの問題は古典的な論理の中心ではありません。

証明理論古典的な証明システムで証明を生成できる複雑さと効率を研究し、複雑さと効率の考慮事項に敏感な新しい非古典的な証明システムを開発します。自動推論は、広義の機械でサポートされたプルーフ生成を研究します。このプロセスには、人間との対話が含まれるか、完全に自動化されます。論理理論の決定手順の開発には多くの作業があります。証明の複雑さは、証明のサイズと証明を生成する計算の複雑さに焦点を当てています。プログラムを証明に関連付ける魅力的な作業があり、線形論理から派生した作業と組み合わされて、リソースに敏感な証明システム、ひいてはプログラミング言語を開発します。

再帰理論私たちの再帰理論は複雑性理論です。計算可能なものを研究するのではなく、計算の効率を研究します。複雑性理論には再帰理論の類似物が多くありますが、再帰理論の結果と分離は、複雑性理論の類似物には必ずしも当てはまりません。計算可能なセットと算術階層の代わりに、多項式時間、多項式時間階層、および階層を囲む多項式空間があります。算術階層の限定された定量化の代わりに、充足可能性と定量化されたブール式、およびブール式の限定された定量化があります。

調査記事

計算機科学における論理の異常な有効性について

は、計算ロジックの非常に高レベルのビューを取得するための良い出発点です。コンピューターサイエンスの論理的に指向したいくつかの分野をリストします。他の人がこの回答を編集してここにそのリストに追加し、場合によってはこのページの回答へのリンクを追加してください。

1. 有限モデル理論
2. 証明の複雑さ
3. アルゴリズムの演（（論理理論の決定手順）
4. プログラムの論理
5. ダイナミックロジック
6. 線形時相論理とその変形
7. 計算ツリーロジックとそのバリアント
8. 認識論的論理
9. データベース理論
10. 型理論
11. 無限の単語上のオートマトン
12. カテゴリー論理
13. 並行性理論とプロセス代数
14. ドメイン理論
15. 線形論理
16. 記述の複雑さ
17. モデル検査
18. 固定小数点計算と推移閉包ロジック

論理とコンピューターサイエンスの強い重複領域は、自動定理証明です（例[4]）。また、例えば参考文献[1]は、ボデル・ムーアの定理証明器を使用して、ゲーデルの定理を確認/検証します。別の最近の大きな/印象的な結果は、マイクロソフトによるGonthierの研究での4色定理（およびOdd OrderやFeit-Thompson [3]など）のソフトウェア検証の最近の完了です。

[1] メタ数学、機械、およびゲーデルの証明（シャンカールによる理論的コンピューターサイエンスのケンブリッジコース

[2] 四色定理ジョルジュ・ゴンティエのコンピューターでチェックされた証拠

[3] Feit-Thompsonの定理の定式化における興味深いアルゴリズムは？tcs.se

[4] コンピュータはどこでどのように定理の証明に役立ちましたか？tcs.se