理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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量子エキスパンダーの背後にある幾何学的な図
（こちらも質問、返信なし） （d、λ ）（d、λ）(d,\lambda)νν\nuうん（d）うん（d）\mathcal{U}(d)| S U P P ν | =d|sあなたはpp ν|=d|\mathrm{supp} \ \nu| =d∥ Eうん〜νうん⊗ U†− Eうん〜μHうん⊗ U†∥∞≤ λ‖Eうん〜νうん⊗うん†−Eうん〜μHうん⊗うん†‖∞≤λ\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambdaμHμH\mu_Hddd ハローとローによって。 私の質問は-量子エキスパンダーは、古典的なエキスパンダー（スペクトルギャップアイソペリメトリー/基になるグラフの拡大）に似た幾何学的解釈を許可しますか？「幾何学的実現」を正式に定義するわけではありませんが、概念的には、純粋にスペクトル基準を何らかの幾何学的画像に変換できることを期待できます（これは、古典的な場合、エキスパンダーが享受する数学的豊かさの源であり、量子の数学的構造エキスパンダーははるかに制限されているようです）。〜〜\sim
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DFAの最小NFAの計算
何年も前に、DFA（決定論的）から最小NFA（非決定的有限オートマトン）を計算することは未解決の問題であり、逆の方向は何十年も知られており、効率的なアルゴリズム。誰かがアルゴリズムを考え出しましたか？O(nlgn)O(nlg⁡n）O(n \lg n) 簡単な検索で、この論文は私にとって間違いなく難しい問題であることを証明しました。どうやら、アルゴリズムが指定されていません。 [1] NFAの最小限の問題は難しい/ Tao JiangとB. Ravikumar この問題を思い出したのは、DFA-> NFA最小化アルゴリズムが密接に関連しているCS.SEサイトに関する次の質問です。この次の質問は研究レベルのようです。TCSに移行することを提案し、統計的/経験的攻撃を示唆する回答を書きました。 [2] 同等のDFAが最大サイズになるためのNFAの条件は何ですか？
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フラクタル迷路の決定可能性
フラクタル迷路は、それ自体のコピーを含む迷路です。たとえば、この記事の Mark JP Wolfによる次のようなものです。 マイナスから始めて、プラスに向かってください。迷路の小さなコピーを入力するときは、そのコピーの手紙名を必ず記録してください。途中でこのコピーを残す必要があります。入力した迷路の入れ子になった各コピーを終了する必要があります。入力した順序とは逆の順序のままにします（例：Aを入力、Bを入力、Cを入力、Cを終了、Bを終了、Aを終了）。ネストされた一連のボックスと考えてください。ネストされたコピーを出る出口パスがない場合、行き止まりに達しました。経路を明確にするために色が追加されましたが、装飾的なものです。 ソリューションが存在する場合、幅優先検索でソリューションを見つける必要があります。ただし、迷路の解決策がないと仮定すると、検索プログラムはどんどん深くなっていきます。 私の質問は、フラクタル迷路が与えられた場合、それが解決策を持っているかどうかをどのように判断できますか？ または、特定のサイズ（コピーあたりの入力/出力の数）のフラクタル迷路の場合、最短のソリューションの長さに制限はありますか？（そのような限界がある場合、その深さだけを徹底的に検索できます）
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2つのバイナリ検索ツリーのマージ
任意のサイズと範囲の2つのバイナリ検索ツリーをマージするアルゴリズムを探しています。これを実装するための明確な方法は、範囲が他のツリーの任意の外部ノードに収まるサブツリー全体を見つけることです。しかし、このタイプのアルゴリズムのための時間を実行している最悪の場合は、の順になるようだと、それぞれの木の大きさです。O(n+m)nm ただし、これはで行うことができると言われていますO(h)。ここhで、高さの大きいツリーの高さです。そして、私はこれがどのように可能かについて完全に迷っています。最初に木を回転させて実験してみましたが、木を背骨に回転させることはすでにO（h）です。
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量子コンピューティングの実世界のアプリケーション（セキュリティを除く）
ユニバーサル量子コンピューターを構築したと仮定しましょう。 セキュリティ関連の問題（暗号化、プライバシーなど）を除いて、現在の現実のどの問題がそれを使用することで利益を得ることができますか？ 私は両方に興味があります： 実用的なエントリでは現在解決できない問題、 現在解決されている問題ですが、大幅な高速化によりユーザビリティが大幅に向上します。
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エッジと頂点の削除によるグラフの接続性
私たちは、グラフとしましょうあるあれば-connectedは、いずれかの除去頂点と任意のからエッジ常に葉連結グラフ。たとえば、標準定義によると、接続グラフは、新しい定義によると接続です。が接続されているかどうかを判断する多項式時間アルゴリズムはありますか？ここでは、入力が、およびでと考えます。GGG(a,b)(a,b)(a,b)aaabbbGGGkkk(k−1,0)(k−1,0)(k-1,0)GGG(a,b)(a,b)(a,b)GGGaaabbb
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通常の言語のクラスをキャプチャするFOの最小拡張とは何ですか？
コンテキスト：ロジックとオートマトンの関係 Büchiの定理は、Monadic Second Order logic over strings（MSO）が通常の言語のクラスをキャプチャすると述べています。実際、この証明は、文字列に対する実在MSO（またはEMSO）が通常の言語をキャプチャするのに十分であることを示しています。一般的な構造では、MSOはよりも厳密に表現力が高いため、これは少し驚くかもしれません。∃ MSO∃MSO\exists\text{MSO}∃ MSO∃MSO\exists\text{MSO} 私の（元の）質問：通常の言語の最小限のロジックですか？ 一般的な構造上で、より厳密に表現力が劣るロジックがありますが、それは文字列上で考慮されたときに通常の言語のクラスをキャプチャしますか？∃ MSO∃MSO\exists\text{MSO} 特に、最小固定小数点演算子（FO + LFP）で拡張された場合に、文字列上のFOによってキャプチャされる通常言語の断片を知りたいです。私が探しているものの自然な候補のようです（ない場合）。∃ MSO∃MSO\exists\text{MSO} 最初の答え @ makoto-kanazawaの回答によれば、FO（LFP）とFO（TC）の両方は、TCが二項関係の推移的閉包の演算子である通常の言語よりも多くキャプチャします。拡張機能が通常の言語のクラスを正確にキャプチャし、他の言語をキャプチャしないような方法で、TCを別の演算子または演算子のセットで置き換えることができるかどうかはまだ不明です。 私たちが知っているように、一次論理だけでは十分ではありません。これは、通常の言語の適切なサブクラスであるスターフリー言語をキャプチャするためです。古典的な例として、言語ParityはFO文を使用して表現できません。= （a a ）∗=（aa）∗\;\;=(aa)^* 更新された質問 ここに私の質問の新しい文言がありますが、未回答のままです。 FO +この拡張機能が文字列を引き継ぐと、通常の言語のクラスを正確にキャプチャするような1次論理の最小拡張機能とは何ですか？ ここで、拡張機能は、通常の言語のクラスをキャプチャするすべての拡張機能（文字列を使用する場合）の中で表現力が最も低い場合（一般的な構造を使用する場合）最小です。
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有界ツリー幅グラフの禁止された未成年者
この質問は、以前の質問の1つに似ています。Kt+2Kt+2K_{t+2}は、最大のツリー幅のグラフの禁止されたマイナーであることが知られています。ttt すべてのツリー幅のグラフに対して最小限の禁止された未成年者である、適切に構築され、パラメータ化された、グラフの完全なファミリ（完全なグラフおよびグリッドグラフ以外）がありますか？換言すれば、明示的なグラフである上のように（完全グラフはない）頂点せいぜいツリー幅のグラフの禁止軽微であり、の関数であり、？ r G r r r tGrGrG_rrrrGrGrG_rrrrrrrttt 禁止されている未成年者の完全なセットは、最大3つのツリー幅のグラフで知られています。詳細については、このウィキペディアの記事を参照してください。 ツリー幅のグラフの禁止された未成年者の完全なセットは、最大で4つ知られていますか？
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スイッチネットワークの問題の複雑さ
スイッチネットワークは、（名前が発明された）ノードの三種類で作られています。 1つの開始ノード 1つの終了ノード 1つ以上のスイッチノード スイッチノードには、左、上、右の3つの出口があります。2つの状態LおよびRと、ターゲット状態TLまたはTRがあります。各スイッチは、次の規則でトラバースできます。 常に左から上へ。スイッチの状態がLに変わります 常に右から上へ。スイッチの状態がRに変わります スイッチが状態Lにある場合のみ、上から左へ。状態は変わらない スイッチが状態Rにある場合は、上から右へ。状態は変わらない 左から右へ、または右から左へ 図1.ターゲット状態TRの状態Lのスイッチノード これらのプロパティも保持します。 スイッチの0、1、または2つの出口を分離できます（別のスイッチに接続されていません）。 パスはスイッチに「触れる」だけでその状態を変更できます。左から入力して左から終了するか、右から入力して右から終了します。 スイッチを通過/タッチできる回数に制限はありません。 決定の問題は、「スイッチのすべての最終状態が対応するターゲット状態と一致するように、開始ノードから終了ノードへのパスが存在しますか？」です。 明らかに、最初はターゲット状態にないすべてのスイッチは、少なくとも一度は移動（またはタッチ）する必要があります。 これは簡単なネットワークの簡単な描画です（Excelで作成しました...より良いものを作成します）。 簡単な解決策は次のとおりです。 S -> 1 -> 2 -> 3 -> 2 -> E -> 1 -> E 編集2： この問題は知られていますか？---> ハーンの論文（制約グラフ）への良い参照をくれました。 問題はます。NPにあるという証拠のスケッチを投稿する前に、エラーが見つかりました。したがって、未解決の質問は再びです：NPSPA CE= PSPA CENPSPACE=PSPACENPSPACE = PSPACE 2。それは？N PNP\mathsf{NP} N P - c o …
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ユークリッド距離による並べ替え
は平面上の点の集合です。ランダム点 X ∉ Sは、同一平面上に与えられます。タスクは、すべてのソートすることである Y ∈ Sとの間のユークリッド距離で X及び Y。SSSx∉Sx∉Sx \notin Sy∈Sy∈Sy \in Sxxxyyy 無脳のアプローチは、間の距離を計算することでとYのすべてのためのy ∈ S、その後ソートそれらがどの高速アルゴリズムを使用します。xxxyyyy∈Sy∈Sy \in S を保存または前処理して、ソート処理を高速化する方法はありますか？SSS
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小さな有限体上の高速畳み込み
小さなフィールド上の長さ巡回畳み込みの最もよく知られている方法は何ですか。F | ≪ n？特に、固定サイズのフィールド、またはF = F 2に興味があります。一般的な漸近効率の記述と参照は大歓迎です。nnn|F | ≪n|F|≪n|\mathbb{F}| \ll nF = F2F=F2\mathbb{F} = \mathbb{F}_2 背景： レッツフィールドであり、nは> 0。私たちは、ベクトルと考えるのu ∈ F Nでインデックス化座標たとしてZを n個。FF\mathbb{F}n > 0n>0n > 0u∈Fnu∈Fnu \in \mathbb{F}^nZnZn\mathbb{Z}_n （環状）畳み込み長さのにわたってFは変換取ってUを、V ∈ F Nと出力uと* V ∈ F Nによって定義される、 （U * V ）I：= Σ J ∈ Z NのV 、J UはI - J、Z n …
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TCS会議でのACM / IEEEの重要性
最近、ACMがサポートする会議に参加しました。宴会の間に、会議の主催者は会議の未来と過去について話してくれました。彼らは、会議の2010年版の間に5000ドルの損失があったと私たちに話しました。 彼らは、ACMに8000ドル（正確に覚えていれば予算の10％）が与えられたことを確認できた前回の会議の予算を示しました。たぶん私はまだ完全にフィールドにいないので（2011年9月に博士号を取得しています）、このお金が何のために与えられたのかを尋ねたのは私だけでした。私が得た答えは本当にがっかりでした。明らかに、ACMの主な貢献は、議事録を印刷し、来年にそのような損失が生じないようにアドバイスを与えることでした（明らかに、アドバイスはエントリー料を上げることでした）。 あなたの大学がACMのサブスクリプションを支払わなければならない（私が間違っている場合は私を修正する）手続きを読むために、会議をサポートするためにACM（IEEEでも同じですか？） だから私の質問は： ACMが実際に会議にもたらすものは何ですか？ これが当てはまる他の会議について聞いたことがありますか？ 関連ブログの投稿： Freedom to ThinkerとMatt Blazeの投稿、明らかに質問はすでに尋ねられているようです。
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単純なポリタイム削減を使用して、強力なNP硬度を実際に示すことができますか？
私は最近、強いNP困難な問題から単純に問題を（多項式時間で）減らすことによって、問題が強いNP困難であることを示すことを意図した証明を読みました。これは私には意味がありませんでした。削減に使用される数値と、削減しようとしている問題のインスタンスは、問題のサイズが多項式で制限されていることを示す必要があると思います。 それから、ウィキペディアがこの種の証明について同じ一般的な指示を出したのを見ましたが、Garey＆Johnsonが基本的に同じことを言っているのを見るまで、私は本当に確信しませんでした。具体的には、「場合、彼らは、言う強い意味でのNP困難であるから擬似多項式変換が存在ΠへΠ "、その後、Π "強い意味でのNP困難さ、」や「。なお、定義上、多項式時間アルゴリズムは擬似多項式時間アルゴリズムでもあります。」ΠΠ\PiΠΠ\PiΠ′Π′\Pi'Π′Π′\Pi' もちろん、私はこれについてGarey＆Johnsonの言葉を受け入れます。それがどのように正しいのか理解できないだけです。これが私の（おそらく欠陥のある）推論です… NP完全に強い問題があり、これらはすべて（定義により）NP完全に強いだけでなく、NP完全に困難です。すべてのNP完全問題は、（定義により）多項式（したがって、疑似多項式）時間で他の任意の問題に還元できます。したがって、Garey＆Johnsonの声明を考えると、NP完全問題はすべてNP完全に強く、したがって、NPハード問題はすべてNPハードに強いと思われます。もちろん、これは強力なNP硬度の概念を無意味にします。 編集/更新（伊藤剛の回答に基づく）： （擬似）多項式変換（強い意味でのNP硬さを与えるために必要な削減の種類）のGarey＆Johnsonの定義からの要件（d）は、結果として得られるインスタンスの最大の数値の大きさが関数として多項式で制限されることです。問題のサイズと元の最大の数値の大きさ。もちろん、これは、元の問題が強い意味でNP困難である場合（つまり、数値の大きさが問題のサイズで多項式的に制限されている場合でも）、これは縮小する問題にも当てはまることを意味します。これは、通常のポリタイム削減（つまり、この余分な要件がないもの）の場合には必ずしも当てはまりません。
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アルゴリズムの正確なシミュレーションの難易度、および複雑度クラスの関連操作
ティーザー ここでは問題が長引くため、その本質を捉える特別なケースがあります。 問題： Aを3-SATの決定的アルゴリズムとする。（問題のすべてのインスタンスで）アルゴリズムAを完全にシミュレートする問題です。P-Spaceハード？ （より正確には、このタスクがP-Spaceハードであると信じる理由があり、この方向に標準的なCC推測に従って何かを行い、このタスクが推定される複雑なクラスXに対してXハードであることを証明したいNPを厳密に超えてください。） 関連する質問：are-pspace-complete-problems-inherently-less-tractable-than-np-complete-problems ; 編集の更新：「Aを完全にシミュレートする」ためのさまざまな解釈があります。そして、解釈によって異なる興味深い答えがあるかもしれません。（また、Ryan Williamsは、非決定論的アルゴリズムをシミュレートするための解釈を提案しました。）決定問題を計算タスク「Completely A」に関連付ける特定の方法について、Joe Fitzsimonsは、この関連決定問題がまだNPにあるアルゴリズムAを見つけました。「完全にシミュレートする」とは、特定のステップでコンピューターのレジスター全体を出力できることを指す場合、Joeのアルゴリズムではが必要なようです。このバージョンについて（私は思うが、確信はない）ライアンの答えはiiiPNPPNPP^{NP}PNPPNPP^{NP}-hardness引数。ジョーは、レジスター全体を提供する必要がある場合（これは意思決定の問題ではありません）、ステップアップする必要があることは驚きではなく、複雑さのクラスは同じではないと述べました。 とにかく、所定のステップでレジスターの状態を出力する必要がある場合、RuanとJoeの答えは、が本質的にことを示唆します（しかし、それについてはわかりません）。この解釈により、演算は多項式階層で1ステップ高くなり、iiiNP+NP+NP^+PNPPNPP^{NP}PH+=PHPH+=PHPH^+ =PHます。 いずれにせよ、これらの解釈による私のティーザーの質問への答えはNOですです。 「アルゴリズムAを完全にシミュレートする」ことを念頭に置いて、より抜本的な解釈をしました。（しかし、おそらくジョーとライアンの解釈はより興味深い。）「アルゴリズムAを完全にシミュレートする」ことによる私の解釈は、すべてのステップレジスターの状態をアウトアウトすることです。特に、アルゴリズムが多項式でない場合、出力も多項式ではありません。この抜本的な解釈のもとで、すべてのアルゴリズムAについて、はP-SPACEのハードであり、何を証明できると信じるべきか疑問に思いました。iiiCACAC_A 動機： この質問は、PapadimitriouとSavaniの論文を説明するPaul Goldbergの講演（スライド、ビデオ、論文）によって動機付けられました。彼らは、Lemke-Howsonアルゴリズムによって計算される平衡を見つけるためにP空間が完全であることを示しました。平衡点を見つけるための問題は、PPAD完了のみです。このギャップは非常に驚くべきものであり、同様の結果は、Papadimitriuの有名な論文：The Parity of the Parity Argument and Other Inefficient of Existence（1991）ですでに説明されています。（PPAD完全問題はNP困難でさえないことが知られています（ひどいことが起こらない限り、これはP空間と比較して複雑さの世界でずっと下にあります）。 質問は何ですか 私の質問は、より古く、より古典的な計算の複雑さの問題に対する同様のギャップについてです。（たぶん、これはすでにおなじみです。） 計算上の問題を考えると、3つの問題を区別できます。 a）問題をアルゴリズム的に解決する b）特定のアルゴリズムAと同じソリューションに到達する c）アルゴリズムA全体のシミュレーション もちろんc）は少なくともb）と同じくらい硬く、それは少なくともa）と同じくらい硬いです。上記の結果は、平衡計算の問題に対するタスクa）とb）の計算の難しさの間のギャップを示しています。他の計算問題の状況（および主にa）とc）のギャップ）を理解したいと思います。 質問： 質問の基本形と例 計算問題、問題Xから始めます 例は 問題X：n変数でSATのインスタンスを解く 私たちも指定します A：問題Xを実行するアルゴリズム そして、私たちは新しい問題を提起します 問題Y：アルゴリズムAを正確にシミュレートする 元の問題Xを解決するすべてのアルゴリズムAについて、そのような問題Yのクラスを理解したいと考えています。 be）アルゴリズムAを自由に選択できる場合。 複雑度クラスで提案されている操作 計算タスクによって記述される複雑度クラス始めます。この計算タスクのすべてのインスタンスを実行するアルゴリズムAが与えられた場合、Aを完全にシミュレート計算タスクによって記述される新しい複雑度クラスを考えます。次に、（できれば）複雑度クラスの「理想」を定義できます。CCCCACAC_AAAA C+={CA:C+={CA:C^+ = …
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