通常の言語のクラスをキャプチャするFOの最小拡張とは何ですか？

コンテキスト：ロジックとオートマトンの関係

Büchiの定理は、Monadic Second Order logic over strings（MSO）が通常の言語のクラスをキャプチャすると述べています。実際、この証明は、文字列に対する実在MSO（またはEMSO）が通常の言語をキャプチャするのに十分であることを示しています。一般的な構造では、MSOはよりも厳密に表現力が高いため、これは少し驚くかもしれません。 $\exists\text{MSO}$ $\exists\text{MSO}$

私の（元の）質問：通常の言語の最小限のロジックですか？

一般的な構造上で、より厳密に表現力が劣るロジックがありますが、それは文字列上で考慮されたときに通常の言語のクラスをキャプチャしますか？ $\exists\text{MSO}$

特に、最小固定小数点演算子（FO + LFP）で拡張された場合に、文字列上のFOによってキャプチャされる通常言語の断片を知りたいです。私が探しているものの自然な候補のようです（ない場合）。 $\exists\text{MSO}$

最初の答え

@ makoto-kanazawaの回答によれば、FO（LFP）とFO（TC）の両方は、TCが二項関係の推移的閉包の演算子である通常の言語よりも多くキャプチャします。拡張機能が通常の言語のクラスを正確にキャプチャし、他の言語をキャプチャしないような方法で、TCを別の演算子または演算子のセットで置き換えることができるかどうかはまだ不明です。

私たちが知っているように、一次論理だけでは十分ではありません。これは、通常の言語の適切なサブクラスであるスターフリー言語をキャプチャするためです。古典的な例として、言語ParityはFO文を使用して表現できません。 $\;\;=(aa)^*$

更新された質問

ここに私の質問の新しい文言がありますが、未回答のままです。

FO +この拡張機能が文字列を引き継ぐと、通常の言語のクラスを正確にキャプチャするような1次論理の最小拡張機能とは何ですか？

ここで、拡張機能は、通常の言語のクラスをキャプチャするすべての拡張機能（文字列を使用する場合）の中で表現力が最も低い場合（一般的な構造を使用する場合）最小です。

— じゃのま
ソース

誤解がない限り、

-calculusは文字列に対するMSOとまったく同じです。

μ

$\mu$

— シルヴァン

@Sylvain、参照はありますか？

計算については何も知りません。

μ

$\mu$

— ジャノマ

無限ツリーについてはdx.doi.org/10.1109/LICS.1988.5137で、MSOのバイシミュレーション不変フラグメントとの同等性についてはdx.doi.org/10.1007/3-540-61604-7_60で証明されているようです。任意の構造上。

— シルヴァン

私は多くの概念が私にとって新しいものではないかと恐れていますが、私は2番目の論文を見ています。特に、バイシミュレーション不変の遷移システムについては知りませんでした。DFAは遷移システムの特定のケースであるように見えますが、それらがバイシミュレーション不変であるかどうかはわかりません。もしそうなら、それは私の質問の一部に答えるでしょう（通常の言語にはさらに表現力の低い別の論理があるかもしれません）。そうでない場合は、何も言えないと思います。文字列のみを考慮すると、同等性が存在する可能性があるからです。

— ジャノマ

遷移システムとして見られる2つの有限語は、同型である場合に二相性です。（第2の紙、単語の表記で

における

と

、遷移システムとして見ることができる

a_{1} \dots a_{n}

$a_1\cdots a_n$

Σ^{*}

$\Sigma^\ast$

Σ = 2^{P r o p}

$\Sigma=2^{\mathit{Prop}}$

）。

⟨ {1, \dots, n}, 1, {(i, i + 1) ∣ i < n}, {i ∣ p \in a_{i}}_{p \in P r o p} ⟩

$\langle\{1,\dots,n\},1,\{(i,i+1)\mid i<n\},\{i\mid p\in a_i\}_{p\in\mathit{Prop}}\rangle$

— シルヴァン

FO（LFP）は、順序付けられた構造のPTIMEをキャプチャし、文字列は順序付けられた構造です。そのため、FO（LFP）で定義可能な言語には、すべての通常の言語とはるかに多くが含まれます。 http://dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(86)80029-8

$\{ a^n b^n \mid n \geq 1 \}$

— 金沢誠
ソース

優秀な。TC ^ 1とTC ^ 2の意味がわかりませんが、それはタイプミスですか？私の知る限り、本の中で使用されている表記は、FO（TC）の推移的閉包でのFOの拡張とFO（DTC）が決定論的推移的閉包でのFOの拡張であり、異なる定義です。あなたが言及したエクササイズは見つかりませんでした。通常の言語をキャプチャできるTCほど表現力の低い演算子が存在するかどうかはまだわかりません。それに応じて質問を更新します。

— ジャノマ

この答えは少し遅いですが、各有限グループ（または各有限単純グループ）に一般化グループ数量詞を隣接させることにより、すべての正規言語のみを取得できることが知られています。例えば、http： //www.brics.dk/RS/03/28/BRICS-RS-03-28.pdfのZoltan EsikyおよびKim G. Larsenによる「Lindstrom Quantifiersで定義可能な正規言語」を参照してください。

さらに、これは、構文モノイドを分割するすべてのグループの数量詞が使用可能な場合にのみ通常の言語を定義できるという意味で最適です。

— ベン・スタンデブン
ソース

$^r$ $^r$ $2r$ $r$

あなたが興味を持っているかもしれないいくつかの参照を見つけました。

$^1$

— 金沢誠
ソース