アルゴリズムの正確なシミュレーションの難易度、および複雑度クラスの関連操作

ティーザー

ここでは問題が長引くため、その本質を捉える特別なケースがあります。

問題： Aを3-SATの決定的アルゴリズムとする。（問題のすべてのインスタンスで）アルゴリズムAを完全にシミュレートする問題です。P-Spaceハード？

（より正確には、このタスクがP-Spaceハードであると信じる理由があり、この方向に標準的なCC推測に従って何かを行い、このタスクが推定される複雑なクラスXに対してXハードであることを証明したいNPを厳密に超えてください。）

関連する質問：are-pspace-complete-problems-inherently-less-tractable-than-np-complete-problems ;

編集の更新：「Aを完全にシミュレートする」ためのさまざまな解釈があります。そして、解釈によって異なる興味深い答えがあるかもしれません。（また、Ryan Williamsは、非決定論的アルゴリズムをシミュレートするための解釈を提案しました。）決定問題を計算タスク「Completely A」に関連付ける特定の方法について、Joe Fitzsimonsは、この関連決定問題がまだNPにあるアルゴリズムAを見つけました。「完全にシミュレートする」とは、特定のステップでコンピューターのレジスター全体を出力できることを指す場合、Joeのアルゴリズムではが必要なようです。このバージョンについて（私は思うが、確信はない）ライアンの答えは$i$$P^{NP}$$P^{NP}$-hardness引数。ジョーは、レジスター全体を提供する必要がある場合（これは意思決定の問題ではありません）、ステップアップする必要があることは驚きではなく、複雑さのクラスは同じではないと述べました。

とにかく、所定のステップでレジスターの状態を出力する必要がある場合、RuanとJoeの答えは、が本質的にことを示唆します（しかし、それについてはわかりません）。この解釈により、演算は多項式階層で1ステップ高くなり、$i$$NP^+$$P^{NP}$$PH^+ =PH$ます。

いずれにせよ、これらの解釈による私のティーザーの質問への答えはNOですです。

「アルゴリズムAを完全にシミュレートする」ことを念頭に置いて、より抜本的な解釈をしました。（しかし、おそらくジョーとライアンの解釈はより興味深い。）「アルゴリズムAを完全にシミュレートする」ことによる私の解釈は、すべてのステップレジスターの状態をアウトアウトすることです。特に、アルゴリズムが多項式でない場合、出力も多項式ではありません。この抜本的な解釈のもとで、すべてのアルゴリズムAについて、はP-SPACEのハードであり、何を証明できると信じるべきか疑問に思いました。$i$$C_A$

動機：

この質問は、PapadimitriouとSavaniの論文を説明するPaul Goldbergの講演（スライド、ビデオ、論文）によって動機付けられました。彼らは、Lemke-Howsonアルゴリズムによって計算される平衡を見つけるためにP空間が完全であることを示しました。平衡点を見つけるための問題は、PPAD完了のみです。このギャップは非常に驚くべきものであり、同様の結果は、Papadimitriuの有名な論文：The Parity of the Parity Argument and Other Inefficient of Existence（1991）ですでに説明されています。（PPAD完全問題はNP困難でさえないことが知られています（ひどいことが起こらない限り、これはP空間と比較して複雑さの世界でずっと下にあります）。

質問は何ですか

私の質問は、より古く、より古典的な計算の複雑さの問題に対する同様のギャップについてです。（たぶん、これはすでにおなじみです。）

計算上の問題を考えると、3つの問題を区別できます。

a）問題をアルゴリズム的に解決する

b）特定のアルゴリズムAと同じソリューションに到達する

c）アルゴリズムA全体のシミュレーション

もちろんc）は少なくともb）と同じくらい硬く、それは少なくともa）と同じくらい硬いです。上記の結果は、平衡計算の問題に対するタスクa）とb）の計算の難しさの間のギャップを示しています。他の計算問題の状況（および主にa）とc）のギャップ）を理解したいと思います。

質問：

質問の基本形と例

計算問題、問題Xから始めます

例は

問題X：n変数でSATのインスタンスを解く

私たちも指定します

A：問題Xを実行するアルゴリズム

そして、私たちは新しい問題を提起します

問題Y：アルゴリズムAを正確にシミュレートする

元の問題Xを解決するすべてのアルゴリズムAについて、そのような問題Yのクラスを理解したいと考えています。 be）アルゴリズムAを自由に選択できる場合。

複雑度クラスで提案されている操作

計算タスクによって記述される複雑度クラス始めます。この計算タスクのすべてのインスタンスを実行するアルゴリズムAが与えられた場合、Aを完全にシミュレート計算タスクによって記述される新しい複雑度クラスを考えます。次に、（できれば）複雑度クラスの「理想」を定義できます。$C$$C_A$$A$

$C^+ = \{C_A:$すべてのアルゴリズムA}。

デジタルコンピューターが多項式時間でできることを$P$に記述させると（たとえば、決定問題に注意を絞りたくありません）、$P^+$は$P$自体がまたがる理想です。

最後に、私の質問

私の質問は：

1）定義が意味をなすか（広い意味での意味）。それはよく知られているのか、それともよく知られているものと同じ（またはそれに似た）ものですか。（私の定式化は非公式で、特にSATのような特定の問題からNPのような複雑なクラスに移行するとき、私が無視したさまざまなことを心配する必要があります。）

次の2つの質問は、定義が意味をなすか、意味をなさないように引き出せることを前提としています。

2）計算の完全性に関するすべての標準的な推測を備えていると仮定します。よく知られている複雑なクラスのが何であると言えますか。（たとえば、C = N P、 C = P-space、..）？編集：いくつかの人々がいることを指摘P S P A C E + = P S P A C E。そのため、代わりに（P N P）+とは何ですか？あるP H + = P Hは？$C^+$$C=NP$$C$$PSPACE^+=PSPACE$$(P^{NP})^+$$PH^+=PH$

C +がCにまたがる理想となるように 、相性クラスを推測できますか？$C$$C^+$$C$

したがって、3-SATのアルゴリズムAをシミュレートする計算タスク（可能な限り簡単にするためにアルゴリズムを選択できる場合）はどれだけ簡単かという質問は、興味深い特別なケースです。

3）この操作について何かを実際に証明する希望はありますか？

もちろん、すべての複雑度クラスがP空間ハードであることを証明すると、P = N PがP = P S P A C Eを暗示していることがわかります。 。しかし、あなたは内のすべての複雑なクラスことを示している場合にはN P +は、多項式Hieararchy（例えば第3レベルの中で発言権を気にいらないと難しいですΔ P 3）これが唯一の事実から続く我々はすでに知っているもの、物事を暗示するもの P = N PはPHを崩壊させます。$NP^+$$P=NP$$P=PSPACE$$NP^+$$\Delta_3^{\bf P}$$P=NP$

問題：Aを3-SATの決定論的アルゴリズムとする。アルゴリズムA（問題のすべてのインスタンスで）P-Spaceを完全にシミュレートする問題は難しいですか？

私はこの問題の声明を理解していません。しかし、私はあなたのより一般的な質問を形式化する自然な方法があると思います。多分私はあなたの主張を完全に失っていますが、あなたがまだここで読むために面白い何かを見つけることを願っています。

1）定義が意味をなすか（広い意味での意味）。それはよく知られているのか、それともよく知られているものと同じ（またはそれに似た）ものですか。（私の定式化は非公式で、特にSATのような特定の問題からNPのような複雑なクラスに移行するとき、私が無視したさまざまなことを心配する必要があります。）

アルゴリズム正確にシミュレートする$Y$タスクを理解する1つの方法は次のとおりです。簡単にするために、モデルを1テープチューリングマシンに修正しましょう。私が言うことは、どんな典型的な計算モデルにも適用できます。

各アルゴリズムおよび入力xに対して、その計算履歴H Y（x 、i 、j ）を定義できます：0からYの実行時間までの整数iおよびjが与えられると、H Y（x 、i 、j ）は時間ステップiの入力x上のチューリング機械Yのテープのj番目のセルの内容。（そして、テープヘッドが$Y$$x$ $H_Y(x,i,j)$$i$$j$$0$$Y$$H_Y(x,i,j)$$j$$Y$$x$$i$$j$番目のステップのセルには、マシンの状態とともにそれも含まれます。）もちろん、複雑性理論では計算の履歴が常に表示されます。$i$

さて、言語を決定できるアルゴリズムはすべて

$C_Y = \{(x,i,j,\sigma)~|~H_Y(x,i,j)=\sigma\}$

（または機能シミュレートタスク解決されたすべての入力で）を正確にシミュレートするアルゴリズムYを、それがアルゴリズムの可能なすべての計算のどんな小さな一部印刷する機能があるので、Yを。確かに、オラクルのための与えられたC Y 1は、ステップ・バイ・ステップのシミュレーションを行うことができYを。$H_Y$$Y$$Y$$C_Y$$Y$

2）計算の複雑さに関するすべての標準的な推測を備えていると仮定します。よく知られている複雑なクラスでC +がどのようなものであると言えますか。（たとえば、C = NP、C = P-space、..）？C +がCにまたがる理想になるように、複雑度クラスCを推測できますか？

上記の提案の下では、これはまだ興味深い質問です。確定的時間クラスの場合、何も変わりません。は単なるPです。すべてのポリタイムアルゴリズムについて、ポリタイムでC Yを決定できます。同様に、E X P + = E X Pです。また、P S P A C E +はまだP S P A C Eです。非決定性の時間複雑度クラスの場合、状況はより興味深いものになります。その場合、アルゴリズムYは複数の計算履歴を持つことができるため、$P^+$$P$$C_Y$$EXP^+ = EXP$$PSPACE^+$$PSPACE$$Y$はもはや明確ではありません。ただし、いくつかの計算履歴を出力する必要があるため、「正確なシミュレーション」では特定の非決定的計算履歴を分離してからその値を出力する必要があります。以下のために N Pアルゴリズム Y、一つと言うことができる C Y ∈ P N Pは、我々が使用できる： N Pを、次いで、我々はそれを取得したら、「第一」（LEXために）計算履歴を受け入れるための二分探索に印刷オラクル関連するビット。以下のために N E X Pアルゴリズム Y、一つは言うことができる C Yを$H_Y$$NP$$Y$$C_Y \in P^{NP}$$NP$$NEXP$$Y$、同様の理由で。$C_Y \in EXP^{NP}$

をより小さなクラスに入れることはできますか？知りません。単純に再定義できないことに注意してください$NP^+$

{（x 、i 、j 、σ ）| H Y（x 、i 、j ）= σ }となるような H Yが存在する$C_Y =$$(x,i,j,\sigma)~|~$$H_Y$$H_Y(x,i,j)=\sigma$

「アルゴリズムYを正確にシミュレートする」ために、履歴文字列がxを含むすべての四重極で同じである必要があるため、をN Pに入れようとします。$C_Y$$NP$$x$$Y$

とにかく、E X P N Pに行くことなく計算に「証人を印刷」できないというこの問題は、回路の複雑さなどのいくつかの状況で発生します。場合N E X Pは、多項式サイズの回路を有し、それは場合もあり、そのC Y ∈ P / P O LのY毎に非決定的ための2 n個のk個の時間Y？インパリアッツォ、カバネッツ、ウィグダーソン$NEXP$$EXP^{NP}$$NEXP$$C_Y \in P/poly$$2^{n^k}$$Y$彼らの証明は非常に興味深いものであり、デランダム化と対角化からツールを呼び出し（なぜそのような結果にデランダム化が必要なのでしょうか？）、それが関数。$NEXP$

この操作について実際に何かを証明する希望はありますか？

たぶん...それはあなたの質問の上記の形式化に満足しているかどうかに依存します。決定論的な3-SATアルゴリズム場合、上記のY問題の正確なシミュレーションはP N P （1 ） -hardになると思います。ここでP N P （1 ）はN Pへの1つのクエリを含む多項式時間です。（StackExchangeの迷惑な構文では、代替の代わりに（1）を書く必要があります。以前、C YはP N P -hardであると述べましたが、詳細はわかりません。以下を一般化する方法がわかります。）$Y$$Y$$P^{NP(1)}$$P^{NP(1)}$$NP$$C_Y$$P^{NP}$

我々はpolytimeごとから多対一還元与えるとC Y。このようなLが与えられた場合、Mを、単一のN Pクエリを実行するLを認識するマシンとします。WLOG、そのクエリはSAT式です。また、WLOGでは、SATクエリは、次の意味で、計算の最後のステップまで「延期」できます。すべてのxに対して式Fとビットbを出力する多項式時間アルゴリズムA （x ）があります。$L \in P^{NP(1)}$$C_Y$$L$$M$$L$$NP$$A(x)$$F$$b$$x$

は、（ S A T （F ） XOR b）= 1となる A （x ）= （F 、b ）の場合にのみ受け入れます。$M(x)$$A(x)=(F,b)$$SAT(F)$$b$

（はFが充足可能である場合は拒否するか、受け入れる場合があります。ビットbはこれをキャプチャします。）$M$$F$$b$

簡単にするために、が計算を終了すると、テープヘッドをセル1に移動し、そのセルに「受け入れ」または「拒否」を書き込み、永久にループするとします。次に、かどうかを尋ねると、（F 、T 、1 、A C C E P T ）∈ C Y十分に大きいためTがあれば私たちに教えてくれるFが受け入れられています。（一般的には、私達はちょうどそれがインスタンス計算するのに効率的だと必要なYのC Yを教えてくれる。）ことをすでに示してこれを注意してくださいC Yが両方あるN P -hardと$Y$$(F,T,1,accept) \in C_Y$$T$$F$$y$$C_Y$$C_Y$$NP$ハード; なぜなら後者は真である（F 、T 、1 、R E J E C T ）∈ C Y IFF Fがあるない充足。$coNP$$(F,T,1,reject) \in C_Y$$F$

からC Yへの最終的な削減は次のとおりです。xが与えられ、A （x ）を取得して（F 、b ）を取得します。b = 0の場合は出力（F 、T 、1 、a c c e p t ）、b = 1の場合は出力（F 、T 、1 、r e j e c $L$$C_Y$$x$$A(x)$$(F,b)$$b=0$$(F,T,1,accept)$$b=1$。$(F,T,1,reject)$

すべてのための、我々は（多項式時間で）生成されるYようにM （xは）ときに限り受け付けるY ∈ C Y。$x$$y$$M(x)$$y \in C_Y$

（この部分について私がより明確になるように要求してくれたJoeに感謝します。）

しかし、私は取得する方法（例えば）が表示されない -hardnessを。軽減するためにΣ 2 -SAT問題に、あなたが3-CNF SATインスタンス記述する必要があるだろうと思われるXあなたの決定論的アルゴリズムシミュレートYを（その中にYは、様々な部分問題にトートロジーを解決されます）。しかし、Yには与えられた時間制限がないため、その3-CNF xは巨大になる可能性があるため、必ずしも多項式時間の削減が得られるとは限りません。私が何かを逃していない限り。$\Sigma_2 P$$\Sigma_2$$x$$Y$$Y$$Y$$x$

最初に間違った答えを投稿したので、これが改善されることを願っています。

3SATの例を検討することから始めます。ライアンの答えに対するあなたのコメントでは

3-SATの決定論的アルゴリズムYをシミュレートするのがどれほど難しいかは興味深い。そして、問題は、Yが何であれ、これがP空間ハードであるかどうかです。

これに対する答えは、NP PSPACEであると仮定すると、少なくとも一部のYはPSPACEハードではなく、PSPACEハードである他のアルゴリズムが存在するということです。後者の表示は簡単です。3SAT式を表すビット文字列をTQBF問題として解釈するアルゴリズムを構築し、3SATインスタンスを解決する前に解決します。この場合、明らかにTQBFに関して特別なものはないので、アルゴリズムのシミュレーションをto意的に難しくすることができます。したがって、特定のアルゴリズムではなく、特定の問題に対するアルゴリズムのシミュレーションの下限のみに注意する必要があります。$\neq$

それを念頭に置いて、3SATを解決するために次のアルゴリズムを構築します。

レジスタ取る、一緒3SATインスタンスを含むレジスタと、試験溶液を含有するサイズのカウンタレジスタのビット（0に最初にすべてのセット）を⌈ ログ2（C + 1 ）⌉最初に1に設定され、二つのフラグをビット（これらを失敗フラグおよび受け入れフラグと呼びます）。ここで、cは句の数です。次に、アルゴリズムは次のように進みます。$n$$\lceil\log_2 (c + 1)\rceil$$c$

• 節カウンターの値がc以下であり、試行解が111 ...... 1でない場合、節kが満たされているかどうかを確認します。失敗ビットを設定しない場合。カウンターをインクリメントします。$k$$c$$111......1$$k$
• 節カウンターの値がc以下であり、試行解が111 ...... 1である場合、節kが満たされているかどうかを確認します。そうでない場合は、失敗フラグを設定します。カウンターをインクリメントします。$k$$c$$111......1$$k$
• 場合超えるCを、そして試験溶液ではない111 ...... 1失敗フラグがセットされている場合、チェック。その場合、試用ソリューションをインクリメントし、カウンターkを1にリセットし、失敗フラグを設定解除します。失敗フラグが設定されていない場合は、acceptフラグを設定し、条項カウンタkをゼロに設定し、試行解をゼロに設定して停止します。$k$$c$$111......1$$k$$k$
• 場合超えるCを、そして試験溶液は、111 ...... 1失敗フラグがセットされている場合、チェック。失敗フラグが設定されていない場合は、受け入れフラグを設定します。節カウンターkをゼロに設定し、試行解をゼロに設定して停止します。$k$$c$$111......1$$k$

アルゴリズムが停止すると、acceptフラグの状態により、3SAT式が満たされるかどうかがわかります。

ここで、時間アルゴリズムの状態を計算したい場合、次のようにNPオラクルへの1回の呼び出しでこれを多項式時間で計算するアルゴリズムがあります。$i$

kの値と試行解レジスタtは単にiの関数であるため、受け入れビットがまだ設定されていない場合、については、レジスタの状態を多項式時間で計算できることに注意してください。フェイルフラグが設定されているかどうかの判別は、トライアルソリューションレジスタの現在の状態がkの現在の値以下のすべての句を満たすかどうかをチェックするだけで、多項式時間で実行できます。これが当てはまらない場合にのみ、失敗フラグが設定されます。受け入れフラグはゼロに設定されます。$i$$k$$t$$i$$k$

同様に、受け入れビットがすでに設定されている場合、レジスタの状態は効率的に計算できます。これは、受け入れビットが設定されている以外はすべてゼロであるためです。

そのため、受け入れビットが設定されているかどうかを判断するのが唯一の難しさです。これは、指定された3SATインスタンスの解がより小さいかどうかを判断することと同じです。もしそうなら、受け入れビットは必然的に設定されなければならず、そうでなければ、受け入れビットは必然的にゼロでなければなりません。明らかに、この問題自体はNP完全です。$t$

したがって、ステップでのシステムの状態は、NPオラクルへの単一クエリを使用して、多項式時間で決定できます。$i$

重要な更新：当初、決定の問題として正確なシミュレーションのRyanの定式化を誤読していたため、決定版がNPにあったという主張は間違っていました。Ryansの回答で定式化された入力xのステップiのビットを決定する問題を考えると、3つの可能性があります。$j$$i$$x$

1. このビットは、が満たされるかどうかに関係なく一定です。この時点でシステムに可能な状態は2つしかないため（両方ともPで計算できます）、そうであるかどうかを判断し、そうである場合、値がσと等しいかどうかはPにあります。$F$$\sigma$
2. ビットは、に等しく、もしF ∈ S A Tさもなければ、および不等。Fの満足のいく割り当てが証人として機能するため、この問題は明らかにNPにあります。$\sigma$$F\in SAT$$F$
3. ビットに等しい場合F ∈ U N S A Tは、その場合には問題がCONPに次にです。$\sigma$$F\in UNSAT$

明らかにこれら三つのいずれかの場合は、単にビットが取る値を比較することにより、多項式時間で行うことが可能であるかを決定する場合とIF F ∈ U N S A T。したがって、正確なシミュレーションの問題がNPである∪ CONP。：ライアンのは、下の両方が正しいと仮定すると、バインドされ、私の上限一致としてこのように、私たちは答えを持っていると思うC Y = N P ∪ C O N Pを。$F\in SAT$$F\in UNSAT$$\cup$$C_Y = NP\cup coNP$

この場合、3SATについて特別なことは何もないことに注意してください。NPの問題についても同様です。さらに、NPだけでなく、シミュレートするのが難しいと思われる非決定的複雑度クラスにも同じトリックを使用できます。決定論的なクラスの場合、最適なアルゴリズムを実行して、ステップ停止できます。したがって、これを念頭に置いて、問題に対する少なくともいくつかの決定論的アルゴリズムの完全なシミュレーションは、問題自体を解くのと同じくらい難しいだけです。$i$

非常に興味深い考えです！以下は、コメントを投稿するには長すぎた拡張コメントです。

内の定義（1）に関するようです：

計算タスクで記述される複雑度クラス始めます。この計算タスクのすべてのインスタンスを実行するアルゴリズムAが与えられた場合、Aを完全にシミュレートする計算タスクによって記述される新しい複雑度クラスC Aを考えます。：その後、我々は（たぶん）複雑性クラスの「理想」を定義することができる C + = { C A：すべてのアルゴリズムのためにAを}。$C$$C_A$$A$$C^+ = \{C_A:$$A\}$

C +の非自明なメンバーシップに対する決定不能性の問題にすぐに出くわすと思います。特に、2つのTM MとM 'の説明を考えると、それらが同じ言語を受け入れるかどうか（つまりL （M ）？= L （M '）を決定することは、一般に停止問題からの削減によって決定できないことがよく知られています。$C^+$$M$$M^{\prime}$$L(M) \stackrel{?}{=} L(M^{\prime})$

さらに、与えられたチューリングマシンの記述、些細なシミュレーションが常にある：ちょうど新しいチューリングマシンの構築呼び出すMを場合受け付ける（その説明を使用して）サブルーチンとして、Mは受け入れ、拒否した場合Mの拒否を。これには線形のオーバーヘッドしかかかりません。具体的には、Mがt （n ）計算ステップで実行される場合、M ∗はO （t （n ））で実行されます（「実行」とは「Mを正確にシミュレートする」ことを意味します）。$M^*$$M$$M$$M$$M$$t(n)$$M^*$$O(t(n))$$M$

これは、ここで得られる真剣な牽引力がある場合、複雑度クラスの理想の定義を作成するための正確な方法がかなり重要になることを示唆しています。特に、たとえば理想がP S P A C E -hardであることを示す場合は、N Pマシンの単純な線形時間シミュレーションの概念を除外する必要があります。質問。$NP$$PSPACE$$NP$

トーク/ペーパーに記載されているホモトピー法とGPSの完全性の結果に関して、P P A D-完全性とP S P A C E-硬さの間に見られる「ギャップ」があると思いますこれは、 NE を見つける（END OF LINEの意味で）と、特定の初期構成を指定して一意の NE を見つける（OTHER LINE OFの意味で）の違いによるものです。$PSPACE$$PPAD$$PSPACE$