スイッチネットワークの問題の複雑さ

スイッチネットワークは、（名前が発明された）ノードの三種類で作られています。

• 1つの開始ノード
• 1つの終了ノード
• 1つ以上のスイッチノード

スイッチノードには、左、上、右の3つの出口があります。2つの状態LおよびRと、ターゲット状態TLまたはTRがあります。各スイッチは、次の規則でトラバースできます。

• 常に左から上へ。スイッチの状態がLに変わります
• 常に右から上へ。スイッチの状態がRに変わります
• スイッチが状態Lにある場合のみ、上から左へ。状態は変わらない
• スイッチが状態Rにある場合は、上から右へ。状態は変わらない
• 左から右へ、または右から左へ

図1.ターゲット状態TRの状態Lのスイッチノード

これらのプロパティも保持します。

• スイッチの0、1、または2つの出口を分離できます（別のスイッチに接続されていません）。
• パスはスイッチに「触れる」だけでその状態を変更できます。左から入力して左から終了するか、右から入力して右から終了します。
• スイッチを通過/タッチできる回数に制限はありません。

決定の問題は、「スイッチのすべての最終状態が対応するターゲット状態と一致するように、開始ノードから終了ノードへのパスが存在しますか？」です。

明らかに、最初はターゲット状態にないすべてのスイッチは、少なくとも一度は移動（またはタッチ）する必要があります。

これは簡単なネットワークの簡単な描画です（Excelで作成しました...より良いものを作成します）。

簡単な解決策は次のとおりです。

S -> 1 -> 2 -> 3 -> 2 -> E -> 1 -> E

編集2：

1. この問題は知られていますか？---> ハーンの論文（制約グラフ）への良い参照をくれました。

問題はます。NPにあるという証拠のスケッチを投稿する前に、エラーが見つかりました。したがって、未解決の質問は再びです：$NPSPACE = PSPACE$

2。それは？$\mathsf{NP}$

$\mathsf{NP\text{-}complete}$

問題は、3-SATからの削減により、少なくともNP困難です。

最初に、次の有向グラフの開始から終了までのパスを見つける問題を考えます。パスは句の3つの（正方形）ノードすべてにアクセスできないという制限があります。

$(X1 \lor X2 \lor X3)\land(X1\lor\neg X2\lor X4)$

これらのグラフをスイッチネットワークに変換します。このために、3つのガジェットを使用します。

1. すべてのサークルノードと双方向エッジはワイヤになり、スイッチ間の接続を形成します。
2. すべての有向エッジは、単一のスイッチで構成される一方向のガジェットになります（以下を参照）。
3. すべての正方形ノードは、Clauseガジェットの一部である3つのスイッチの1つを表します（以下を参照）。

次の図では、スイッチは2つの入ってくる矢印として描かれており、そのうちの1つは破線（無効）です。ターゲットの方向は黒い円で描画されます（実線の矢印が最終的に円の側になければならないように）。

注：太字を使用して、グラフの出口とガジェットの出口を区別します。

$A$$B$$B$$A$$X1$$X2$$X3$$X1'$$X2'$$X3'$

元のグラフでは、Exitに至り、どの句の3つの正方形ノードもすべて訪問しなかったパスを見つけることはNP完全であったことを思い出してください。次に、スイッチのターゲット位置を気にせずに、変換されたグラフの出口に到達する問題を考えます。

元のグラフの問題の解決策であるパスは、変換されたグラフの解決策でもあることに注意してください。したがって、変換されたグラフのパスが元のグラフの解決策ではないと仮定します。これは、次の2つの場合に発生する可能性があります。

1. $B$$A$
2. パスは、一部のClauseガジェットの3つのパスすべてを横断します。

最初の場合、一方向ガジェットは最初に目的の方向にトラバースされている必要があります。その場合、最初にパスがトラバースすることを回避した可能性もあります。

そのため、パスがいくつかのClauseガジェットの3つのスイッチすべてを通過する2番目のケースを考えてみましょう。次に、そのガジェットの3つのスイッチがすべて反転します（以下を参照）。これは、ターゲットポジションを利用する場所です。Clauseガジェットの灰色のバックボーンに到達できなくなっていることに注意してください。つまり、スイッチをターゲット位置に向けることができなくなります。この場合、このClauseガジェットは回復不能であると言います。

元のグラフの問題を解決するために、変換されたグラフのスイッチを目的の位置に配置できることを示す必要があります。このため、Exitワイヤに到達できるのは解決策がない場合、またはClauseのガジェットが回復不能になった場合のみです。

スイッチをターゲット位置に配置するために、Exitワイヤーから既存のすべてのOne-wayガジェットの入り口に、さらにすべてのClauseガジェットの3つの出口ワイヤーに追加のOne-wayガジェットを追加できるようになりました。次に、トークンがExitに到達すると、追加のすべての一方向ガジェットを走査し（それによってターゲット位置に配置）、残りのスイッチをターゲット位置に配置できます（回復不能な句がない場合）。最後に、トークンは出口に戻ることができ、パズルは解かれます。

私たちは、ことを発言すべき条項 untraversed出口から入力されたときのガジェットのみを回収することができます。とに起因するワンウェイの間に配置されているガジェット句まで、ガジェットと次の変数、これは起こることができない終了線に到達しました。

したがって、スイッチネットワークの問題はNPハードです。

問題がNPにあるのかPSPACEハードにあるのかはまだ不明です。平面スイッチネットワークを構築するNPのハードウェア削減は、倉庫番の制限されたバリアントに大きな意味を持ちます。つまり、すべてのスイッチは以下の倉庫番ガジェットと同等であるためです。