トートロジーはいくつありますか？

与えられた場合変数と句を持つ -DNFのうち、いくつがトートロジーになりますか？（または何 -CNFが不満足ですか？）k n m $m, n, k$$k$$n$$m$$k$

答えは、、、および依存します。通常、正確なカウントは不明ですが、、、ほとんどの設定で、ほぼすべての -SATインスタンスが満たされるか、ほぼすべてのインスタンスが満たされない「しきい値」現象があります。例えば、、それは経験的に観察されているとき、全てが、画分3-SATのインスタンスが充足しており、、全てが、分数は不満足です。（境界の厳密な証明も知られています。）m n k m n k k = 3 m < 4.27 n o （1 ）m > 4.27 n o （1 $k$$m$$n$$k$$m$$n$$k$$k=3$$m < 4.27 n$$o(1)$$m > 4.27n$$o(1)$

1つの出発点は、「k-SATしきい値の漸近次数」です。

Amin Coja-Oghlanは、これらの充足可能性のしきい値の問題についても多くの作業を行っています。

これは、ライアンの答えを補完する拡張コメントであり、インスタンスのほとんど確実に満たされないほど節の数が大きくなるしきい値を処理します。また、節の数が関数を超えた場合に不満を強制する、非常に大きなしきい値を計算することもできます。$n$

いくつかの技術的な問題に対処する必要があることに注意してください。繰り返される節がでカウントされる場合、変更せずに、を必要なだけ大きくすることができます。これは、と間のほとんどの関係を破壊します。したがって、が別個の節の数であると想定します。句内のリテラルの順序またはインスタンス内の句の順序が重要になるようにインスタンスがエンコードされるかどうか、別の詳細を決定する必要があります。これは重要ではないと仮定します。したがって、2つのインスタンスが同じ句を含む場合、2つのインスタンスは同等と見なされ、同じリテラルを含む場合、2つの句は同等と見なされます。これらの仮定により、次のように表現できる個別の句の数を制限できます。、M 、N 、M 、N 、M 、N 、M ≤ 3 $m$$m$$n$$m$$n$$m$$n$変数。各節では、各変数が正または負に発生するか、まったく発生せず、その後ます。$m\le 3^n$

最初に制限のないSATを検討します。インスタンスが満足できる最大のは何ですか？一般性を失うことなく、すべてゼロの割り当てが解決策であると仮定できます。そこである、この溶液と一致異なる節、少なくとも一つの否定リテラルそれぞれ含みます。したがって、充足可能なインスタンスの場合はです。それぞれが少なくとも1つの否定リテラルを含むすべての句で構成されるインスタンスには、この多数の句があり、すべてゼロの割り当てで満たされます。さらに、鳩の巣の原理により、少なくとも句を持つインスタンスは満足できません。M 3 N - 2 N M ≤ 3 N - 2 N 3 N - 2 N + $k$$m$$3^n-2^n$$m\le 3^n-2^n$$3^n-2^n+1$

これにより、そのような節の異なるサブセットが生成され、それぞれが割り当てによって満たされる個別のインスタンスを表します。これに対して、異なるインスタンスの総数はです。 2 3 $2^{3^n-2^n}$$2^{3^n}$

各句が最大でリテラルを持つインスタンスについて上記を変更すると、個別のそのような句があり、負のリテラルがない句、したがって満足できるインスタンスの場合は、およびそれより大きいは不満足です。そこである、の合計のうち、いずれかの特定の割り当てによって満たさ例 -SATインスタンス。∑ k i = 0（$k$∑ k i = 0（$\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i$ Mは≤Σ K iが= 0（$\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}$m2∑ k i = 0（$m\le \sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)$$m$$2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)}$$2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i}$ $k$