量子エキスパンダーの背後にある幾何学的な図

（こちらも質問、返信なし）

$(d,\lambda)$$\nu$$\mathcal{U}(d)$$|\mathrm{supp} \ \nu| =d$$\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambda$$\mu_H$$d$ ハローとローによって。

私の質問は-量子エキスパンダーは、古典的なエキスパンダー（スペクトルギャップアイソペリメトリー/基になるグラフの拡大）に似た幾何学的解釈を許可しますか？「幾何学的実現」を正式に定義するわけではありませんが、概念的には、純粋にスペクトル基準を何らかの幾何学的画像に変換できることを期待できます（これは、古典的な場合、エキスパンダーが享受する数学的豊かさの源であり、量子の数学的構造エキスパンダーははるかに制限されているようです）。$\sim$

[この回答は、現在廃止されている理論物理スタック交換サイトでの私の回答からコピーされたものです。すべて1のベクトルに直交するすべての単位ベクトル上の2次形式。この最小化を（a、a、...、a、b、b、..b）の形式のベクトルに制限すると、グラフのエッジ拡張が生成されます。 ここに議論があります。これら2つの定義の大まかな等価性は、チーガーの不等式として知られています。

これは、量子ケースの場合、プロジェクターのチャネル（エキスパンダーからランダムなユニタリーを適用することによって形成される）のアクションを考慮する必要があることを示唆しています。Cheegerの不等式に類似した結果は、arXiv：0706.0556の付録Aにあります。

一方、これは数学的に類似していますが、古典的なエキスパンダーで知られているよりも量子エキスパンダーの用途がはるかに少ないことはまだわかっています。