小さな有限体上の高速畳み込み

小さなフィールド上の長さ巡回畳み込みの最もよく知られている方法は何ですか？特に、固定サイズのフィールド、または興味があります。一般的な漸近効率の記述と参照は大歓迎です。 $n$ $|\mathbb{F}| \ll n$ $\mathbb{F} = \mathbb{F}_2$

背景： レッツフィールドであり、。私たちは、ベクトルと考えるでインデックス化座標たとして。 $\mathbb{F}$ $n > 0$ $u \in \mathbb{F}^n$ $\mathbb{Z}_n$

（環状）畳み込み長さのにわたって変換取ってと出力によって定義される、に対するインデックス演算を使用します。 $n$ $\mathbb{F}$ $u, v \in \mathbb{F}^n$ $u * v \in \mathbb{F}^n$

(u * v)_{i} := \sum_{j \in Z_{n}} v_{j} u_{i - j},

$(u * v)_i := \sum_{j \in \mathbb{Z}_n} v_j u_{i - j},$

Z_{n}

$\mathbb{Z}_n$

大きなフィールドで巡回畳み込みを実行するための一般的な方法は、畳み込み定理を使用して、離散フーリエ変換（DFT）の実行とFFTアルゴリズムの使用に関する問題を減らすことです。

小さな有限フィールドの場合、DFTは未定義です。なぜなら、ユニティの原始番目の根がないからです。一つは、埋め込むことによってこの問題を回避することができます大きな有限体に問題が、それは、これが続行するための最良の方法であることは明らかではありません。このルートをとったとしても、誰かがすでに詳細を解決しているかどうかを知ると便利です（たとえば、使用する大きなフィールドと適用するFFTアルゴリズムを選択するなど）。 $n$ $^*$

追加：

畳み込みを「埋め込む」とは、次の2つのいずれかを意味します。最初のオプション：ユニティの望ましいプリミティブルートが隣接する拡張フィールドに渡して、そこで畳み込みを行うことができます。 $^*$

2番目のオプション：開始フィールドが周期的である場合、より大きな特性の周期フィールドに渡すことができます-ベクトルがにあると見なす場合、「ラップアラウンド」は発生しません。（私は非公式ですが、どうやって上の畳み込みを計算するかを考えると、に対して同じ畳み込みを行うことができ、mod 2の答えを得ることができます。） $\mathbb{F}_{p'}$ $\mathbb{F}_{p'}$
$\mathbb{F}_2$ $\mathbb{Z}$

追加されたもの：

FFTおよび関連する問題の多くのアルゴリズムは、「nice」値に対して特にうまく機能します（これに関する状況をより良く理解したいと思います）。 $n$

しかし、の特別な値を利用しようとしない場合、巡回畳み込み問題は基本的に（線形爆発を含む簡単な縮約による）通常の畳み込みと同等です。これは、上の係数と多項式の乗算に相当します。 $n$ $n$ $\mathbb{F}_p$

この同値ことで、1は、例えばで結果を使用することができ、この論文の下限回路の複雑さを取得するために拡張フィールドのアプローチを使用するフォン・ズールGathenとゲルハルト（カントールの仕事に構築）、の。彼らは、IMO、特に明確な方法で自分の限界を述べるませんが、境界はより悪いでものために。良くできますか？ $\tilde{O}_p(n)$ $n \cdot \log^2 n$ $\mathbb{F}_2$

ds.algorithms reference-request

— アンディ・ドラッカー
ソース

たぶん、あなたはトッド・メイターの論文で何か有用なものを見つけるでしょう。

— jp

私は尋ねた非常によく似た質問を、任意の有限体上のDFTを計算するためMathOverflowに。関連する答えが見つかるかもしれません。

— ビルブラッドリー14年

Alexey Pospelovによる最近の論文は、最新技術を示しているようです。（私が引用する境界を達成するのは初めてではありませんが、任意のフィールドに対して統一された方法でそれらを達成し、同様に重要なこととして、境界を明確に述べています。3ページを参照してください。）

我々はでき乗算2個の学位任意のフィールド上の多項式用いで乗算及びに加算。これは、元々はシェーンハージュ・ストラッセン（char。）とシェーンハーゲのcharによるものです。2.私が述べたように、これは周期的畳み込みの同じ境界を意味します。ポスペロフはまた、「現在のところ、[上記]の上限を持ち、連続したDFTアプリケーションに基づいていないアルゴリズムを認識していません...」と述べています。 $\bullet$ $n$ $\mathbb{F}$ $O(n \log n)$ $\mathbb{F}$ $O(n \log n \log \log n)$ $\mathbb{F}$ $\neq 2$

$\bullet$

$\bullet$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}$ $N$ $N$ $N = O(n)$ $N$ $O(n)$ $O(n \log n)$

$\bullet$

Todd Mateerの論文も、FFTの文献と多項式乗算への応用を理解するための優れたリソースのようです（Jugに感謝！）。探しているものを見つけるには、さらに掘り下げる必要があります。

— アンディ・ドラッカー
ソース

FurerとDeについては正しいと思います。DeはFFTの複雑なバージョンを使用せず、技術的には簡単ですが、どちらのアルゴリズムも概念的には似ています。

— 対

ログファクターが心配な場合は、マシンモデルに注意する必要があります。Furerの最近の改善は、チューリングマシン専用です。ユニットコストRAMモデルの場合（乗算なしでも一定時間のルックアップを使用）、2つのnビット数を乗算するためのO（n）時間と、ビットパッキングや従来の手法を使用したF_2などでの乗算の時間複雑度が低くなります。

— ラファエル