フラクタル迷路の決定可能性

フラクタル迷路は、それ自体のコピーを含む迷路です。たとえば、この記事の Mark JP Wolfによる次のようなものです。

マイナスから始めて、プラスに向かってください。迷路の小さなコピーを入力するときは、そのコピーの手紙名を必ず記録してください。途中でこのコピーを残す必要があります。入力した迷路の入れ子になった各コピーを終了する必要があります。入力した順序とは逆の順序のままにします（例：Aを入力、Bを入力、Cを入力、Cを終了、Bを終了、Aを終了）。ネストされた一連のボックスと考えてください。ネストされたコピーを出る出口パスがない場合、行き止まりに達しました。経路を明確にするために色が追加されましたが、装飾的なものです。

ソリューションが存在する場合、幅優先検索でソリューションを見つける必要があります。ただし、迷路の解決策がないと仮定すると、検索プログラムはどんどん深くなっていきます。

私の質問は、フラクタル迷路が与えられた場合、それが解決策を持っているかどうかをどのように判断できますか？

または、特定のサイズ（コピーあたりの入力/出力の数）のフラクタル迷路の場合、最短のソリューションの長さに制限はありますか？（そのような限界がある場合、その深さだけを徹底的に検索できます）

computability fractals

— ニック・アルガー
ソース

FAQを読んだ後、これが属するとは思わない。おそらく、研究レベルの理論的なコンピューターサイエンスの質問ではないでしょう。間違った場所に投稿してすみません。誰かがこの質問をするか、そこに移動するための適切なフォーラムを推奨できますか？

— ニック・アルジェ

数学、コンピュータサイエンス。

— カベ

math.stackexchangeに投稿することを検討しましたが、そこにアルゴリズムが多すぎるように思えました。コンピューターサイエンスのスタック交換があることを知りませんでした。モデレーターがこれらの場所のいずれかに移動したい場合は気にしません。

— ニック・アルジェ

これがトピック外であることは私には明らかではありません...明らかにトピック外の質問は通常、アップ投票よりもダウン投票を多く受けます

— ジョー

スタックが現在のサブ迷路のシーケンスに対応するプッシュダウンオートマトンとして、フラクタル迷路を表すことはできませんか？そして、溶解度の問題は、文脈自由言語の空の問題に変わり、それは決定的です。

— ピーターショー

回答:

問題が決定可能であることを証明する簡単な非公式アルゴリズム：

あると仮定し入力/出力 ; $n$ $I_1,...I_n$
各、およびがノードであるグラフ作成し、ネストされた各迷路をサブグラフ（完全なグラフ）に置き換えます。迷路に従って間エッジを追加します。「外部」を維持 $G$ $I_i$ $MINUS$ $PLUS$ $Mj$ $K_n$ $I_i, MINUS, PLUS, Mj_{I_k}$ 完全なサブグラフとしてのの対応する「内部」エッジは異なるエッジ。 $Mj_{I_i} \rightarrow Mj_{I_k}$ $I_i \rightarrow I_k$ $Mj$
MINUSからPLUSへのすべてのパスを列挙します（サイクルを回避）。 $G$
ネストされたコピーを横断しないパスを見つけた場合、それは解決策です。それ以外の場合、各パスのネストされた迷路の各「内部」トラバーサルを展開します。 $Mj$

最初の列挙のパスがであり、からのパスがある場合、そのパスは有効なソリューションiiであるとしますおよびから元の迷路（グラフ）。 $MINUS \rightarrow A_{I_i} \rightarrow A_{I_j} \rightarrow B_{I_k} \rightarrow B_{I_h} \rightarrow PLUS$ $I_i \rightarrow I_j$ $I_k \rightarrow I_h$ $G$

したがって、からおよびからまでのすべてのパスを列挙するおよびトラバーサルを展開する必要があります。 $A_{I_i} \rightarrow A_{I_j}$ $B_{I_k} \rightarrow B_{I_h}$ $I_i$ $I_k$ $I_k$ $I_h$ $G$

無限ループは、前の段階ですでに含まれていたパスの展開でからまでのすべてのパスを列挙しているときに検出されますいくつかのサブ迷路（可能な展開はのみです）。 $I_i$ $I_k$ $... \rightarrow M_{I_i} \rightarrow M_{I_k} \rightarrow ...$ $M$ $n^2$

入力/出力のみを含むパス展開が見つかった場合、解決策が見つかります。ループなしでパスをさらに拡張できない場合、迷路には解決策がありません。 $I_i$

— マルツィオ・デ・ビアシ
ソース

うわー！なんて賢いアイデア。これはうまくいくと思いますが、それでも私の頭の中では少し曖昧ですので、受け入れる前に少し時間をかけて熟考します。

— ニック・アルジェ

はい、このアルゴリズムが正しいことは確かです。上記のPeter Shorのコメントに注目して、コンテキストを持たない言語空虚決定可能性の問題の証拠を提供するためにこれを好転させることができるかどうか疑問に思います。特定の文脈自由言語空虚問題に対して、同等のフラクタル迷路を構築し、このアルゴリズムを適用します。

— ニック・アルジェ

@Nick：フラクタル迷路は可逆プッシュダウンオートマトンに対応します。状態Sから状態Tに遷移できる場合は、TからSに遷移することもできます。フラクタル迷路が実際、リバーシブルプッシュダウンオートマトンと同等です。（多項式因子まで）可逆チューリングマシンは、通常のチューリングマシンと同じパワーを持つという定理があります。誰かがリバーシブルプッシュダウンオートマトンを以前に検討したことがあるかどうかはわかりませんので、それらについて何かがわかっているかどうかはわかりません。

— ピーター

@Peter：このリバーシブルプッシュダウンオートマタを見つけましたが、「リバーシブル」の定義は異なっているようです。（PSフラクタル迷路のPDAとしてのシンプルできれいな解釈おめでとう

— ございます

上記のアルゴリズムは、有向グラフ（非可逆的フラクタル迷路）に拡張できます。考慮する必要がある拡張は

だけです（

および

）。

2 n^{2}

$2n^2$

I_{k} \to I_{j}

$I_k \rightarrow I_j$

I_{j} \to I_{k}

$I_j \rightarrow I_k$

— ニック・アルジェ

これは私の質問に対する「答え」ではなく、むしろここにいる人々が面白いと感じる拡張コメントです。

私は、迷路と解決策の自然な「分析型」定義があり、ここで使用したコンピューター科学/グラフ理論の定義とは異なると主張します。特に、分析定義で「解決策」を持つフラクタル迷路を持つことができますが、Marizio De BiasiのアルゴリズムとPeter Shorのプッシュダウンオートマトンテクニックでは解決不可能と宣言されます。

$M$ $M \subset \mathbb{R}^2$ $s,e \in M$ $f:[0,T] \rightarrow M$ $f(0)=s$ $f(T)=e$

次に、ヒルベルト曲線を考えます。

ウィキペディアのヒルベルト曲線gif

次の図で、この曲線を「フラクタル迷路」と解釈できます。ここに画像の説明を入力してください

$P$

$P = APA^{-1}BPB^{-1}CPC^{-1}DPD^{-1}$

ヒルベルト曲線が正方形全体を埋めるため、これはフラクタル迷路の精神ではないと主張するかもしれません。したがって、開始から終了まで直線セグメントを描くことができます。ただし、この異論は簡単にオーバーライドできます。次に示すように、ヒルベルト曲線図を直接埋め込みます。

ここに画像の説明を入力してください

これも、ヒルベルト曲線の一様な収束を示すために使用される同じ引数により、開始から終了までの一様に収束する連続パスのシーケンスを含みます。しかし、それは空間全体を埋めないという意味で、真の「フラクタル迷路」です。

したがって、分析の定義では解決できるが、グラフの理論の定義では解決できないフラクタル迷路があります。

とにかく、私の論理は正しいと確信していますが、直観に反するように思えるので、誰かがこれに光を当てることができれば感謝しています。

— ニック・アルガー
ソース

素朴なコメント：ヒルベルト曲線の「サブメイズ」は小さいため、「連続した世界」では機能します。「離散世界」では、最初のサブ迷路（ヒルベルト曲線の左下での無限のズームなど）を入力し続けるため、「終了」動作を行うことはありません。それはゼノのパラドックス

— マルツィオデビアーシ

PSフラクタル曲線の必要はないと思います：sからfへの単一の中央のサブ迷路を持つ単純な水平線（サブサブ迷路ecc。ecc。を持つ単一の水平線を持つ）は、同じ考慮事項につながります。

— マルツィオデビアージ

いい視点ね。幅1/2のサブボックスを右端に配置してこれを行うと、ゼノのパラドックスとは異なり、まさにゼノパラドックスになります。さらに検討すると、ほぼすべてのフラクタル迷路を解決可能にするため、連続定義はフラクタル迷路にはあまり適していないようです。

— ニック・アルジェ

しかし、それは禅のラビリンス瞑想に適しています（瞑想のコンテキストでの迷路と迷路の違いについてはGoogleを中心にしています）:

— Marzio De Biasi