単純なポリタイム削減を使用して、強力なNP硬度を実際に示すことができますか？

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私は最近、強いNP困難な問題から単純に問題を（多項式時間で）減らすことによって、問題が強いNP困難であることを示すことを意図した証明を読みました。これは私には意味がありませんでした。削減に使用される数値と、削減しようとしている問題のインスタンスは、問題のサイズが多項式で制限されていることを示す必要があると思います。

それから、ウィキペディアがこの種の証明について同じ一般的な指示を出したのを見ましたが、Garey＆Johnsonが基本的に同じことを言っているのを見るまで、私は本当に確信しませんでした。具体的には、「場合、彼らは、言う強い意味でのNP困難であるから擬似多項式変換が存在へ、その後、強い意味でのNP困難さ、」や「。なお、定義上、多項式時間アルゴリズムは擬似多項式時間アルゴリズムでもあります。」 $\Pi$ $\Pi$ $\Pi'$ $\Pi'$

もちろん、私はこれについてGarey＆Johnsonの言葉を受け入れます。それがどのように正しいのか理解できないだけです。これが私の（おそらく欠陥のある）推論です…

NP完全に強い問題があり、これらはすべて（定義により）NP完全に強いだけでなく、NP完全に困難です。すべてのNP完全問題は、（定義により）多項式（したがって、疑似多項式）時間で他の任意の問題に還元できます。したがって、Garey＆Johnsonの声明を考えると、NP完全問題はすべてNP完全に強く、したがって、NPハード問題はすべてNPハードに強いと思われます。もちろん、これは強力なNP硬度の概念を無意味にします。

編集/更新（伊藤剛の回答に基づく）：

（擬似）多項式変換（強い意味でのNP硬さを与えるために必要な削減の種類）のGarey＆Johnsonの定義からの要件（d）は、結果として得られるインスタンスの最大の数値の大きさが関数として多項式で制限されることです。問題のサイズと元の最大の数値の大きさ。もちろん、これは、元の問題が強い意味でNP困難である場合（つまり、数値の大きさが問題のサイズで多項式的に制限されている場合でも）、これは縮小する問題にも当てはまることを意味します。これは、通常のポリタイム削減（つまり、この余分な要件がないもの）の場合には必ずしも当てはまりません。

cc.complexity-theory np-hardness reductions

— マグナスリーヘットランド
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すごい！私の数学のTAは昨日これをしました、そして、私はそれが怪しいです。今、私は彼にリンクを与えることができます。

— ラファエル

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Garey and Johnsonの論文の用語によると、多項式時間変換は、定義4の項目（d）に違反する可能性があるため、必ずしも擬似多項式変換ではありません。

— 伊藤剛
ソース

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そのため、多項式アルゴリズムは必然的に擬似多項式ですが、多項式の縮小は必ずしもG＆Jが擬似多項式変換と呼ぶものではありません。実際、それらの項目（d）は、私が行方不明だと思ったものとまったく同じです（つまり、数値のサイズに関する制限）。ありがとう。

— マグナスリーヘットランド

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剛の答えをさらに広げるには：

Garey and Johnsonのコンテキストでは、PARTITION（p。47、Sec。3.1）からMULTIPROCESSOR SCHEDULING（p。65、Sec。3.2.1、Item（7））への変換を検討してください。

（制限による）変換には、設定が含まれます。しかし、タスクの長さ、 $D=\frac{1}{2}\sum_{a\in A}l(a)$ $l(a)$ $q_2$ $\forall I \in D_{\Pi}$ $[f(I)] \le q_2$ $[I],$ $[I])$ （すなわち、疑似多項式変換の定義の項目（d））。

$l(a)$ $l(a)$ $|A|$

関連するトピックに関するウィキペディアを読むこともできます。たとえば、NPの完全なKNAPSACK問題に対する動的プログラミングベースの多項式時間アルゴリズムがあります。少なくとも、数値が十分に小さい限りです。数値が大きくなりすぎると、この「多項式時間」アルゴリズムは「指数関数的動作」を表示します。（G＆J、91ページ、セクション4.2）

— ダニエル・アポン
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