多項式時間で半正定値プログラムを解く

線形計画法（LP）は、楕円法またはKarmarkarのアルゴリズムのような内点法を使用して、多項式時間で正確に解くことができることを知っています。それらの多項式時間分離オラクルを設計できれば、超多項式（指数）数の変数/制約を持つLPも多項式時間で解くことができます。

半正定値プログラム（SDP）はどうですか？どのクラスのSDPを多項式時間で正確に解くことができますか？SDPを正確に解決できない場合、それを解決するためにFPTAS / PTASを常に設計できますか？これを行うことができる技術的条件は何ですか？多項式時間分離オラクルを設計できる場合、多項式時間で指数関数的な数の変数/制約を使用してSDPを解決できますか？

組み合わせ最適化問題（MAX-CUT、グラフの色付け）で発生するSDPを効率的に解決できますか？因子内でしか解けない場合、定数因子近似アルゴリズム（Goemans-Williamson MAX-CUTアルゴリズムの0.878など）には影響しませんか？ $1+\epsilon$

これに関する適切な参照は非常に高く評価されます。

linear-programming semidefinite-programming convex-optimization

— アリンダムパル
ソース

実際、この方法は、一般的に凸なプログラミングのために働く

— スレシュヴェンカト

一般的なSDPを多項式時間で解けない理由は少なくとも2つあります。（1）指数関数的なサイズのSDPが存在します。（2）SDPは平方根問題の和問題をエンコードできますが、これは多項式時間で解けるとはわかっていません。

— ロビンコタリ

@RobinKothariためSDPは、通常、「多項式時間で解ける」「内の取得に置き換えられ

時間多項式でOPTの（添加剤）

IIRC」。ps SDPは平方根の和をどのようにエンコードしますか？

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

— スレシュヴェンカト

@SureshVenkat：エントリ[ab; cd]。これが正の半正でd = 1であることを課します。これは、b = cおよびa> = b ^ 2を意味します。したがって、bはaの平方根によって上限が設定されます。これで、いくつかのそのようなbの合計を最大化できます。最適値は、それぞれのaの平方根の合計になります。

— ロビンコタリ

乗法ではなく加法です。また、en.wikipedia.org / wiki / Semidefinite_programming＃Algorithms

— Suresh Venkat

楕円法と内点法を拡張して、SDPも解くことができます。詳細については、SDPの標準テキストを参照できます。以下がその1つです。

半正定値プログラミング。VandenbergeとStephen Boyd、1996年。

— ジャガディッシュ
ソース

素敵なリファレンスJagadish。

— アリンダムパル

素敵なリファレンスも！ありがとう！SDPを解く多項式時間アルゴリズムを言うとき、アルゴリズムは最適解を正確にまたは近似的に解いていますか？

— すべてのStackExchange