漸近的に、

順列を。反転は、およびようなインデックスのペアとして定義されます。 $\sigma$ $[1..n]$ $(i, j)$ $i < j$ $\sigma(i) > \sigma(j)$

$A_k$ を、最大反転を持つの順列の数として定義します。 $[1..n]$ $k$

質問：厳密な漸近境界は何 $A_k$ ですか？

しかし、上記の質問は計算に関するものでした。ここに示す繰り返し関係を満たすため、動的プログラミングを使用して計算できます：https : //stackoverflow.com/questions/948341/dynamic-programming-number-of-ways-to-get-at-least-n-bubble -ソートスワップ $A_k$

正確に $k$ 反転を伴う順列の数も研究されており、生成関数として表現できます：http : //en.wikipedia.org/wiki/Permutation#Inversions

しかし、閉形式の公式や漸近的な境界を見つけることができません。

co.combinatorics permutations

— ビナヤック・パタク
ソース

シーケンスの生成多項式がある場合、多項式に

乗算するだけで、プレフィックス和の生成多項式を導出できます。あなたの場合、リンクした多項式を使用して、正確にk回の反転を計算します。

1 / (1 - x)

$1/(1-x)$

— Suresh Venkat

これはoeis.org/A161169

— アンドラスサラモン

@SureshVenkatヒントをありがとう。しかし、この本当に複雑な多項式で

と

に関して

の係数を見つけることにまだ固執し、それを行う方法がわかりません。

x^{k}

$x^k$

n

$n$

k

$k$

— ビナヤックパタック

係数を取得するために

、取る

生成多項式の誘導体番目およびでそれを評価し

。

x^{k}

$x^k$

k

$k$

x = 0

$x = 0$

— サショニコロフ2013

ウィキペディアによると、正確に反転を伴うの順列の数は、のの係数ですこれをます。これは、 $S_n$ $k$ $X^k$

1 (1 + X) (1 + X + X^{2}) \dots (1 + X + \dots + X^{n - 1}) .

$1(1+X)(1+X+X^2)\cdots(1+X+\cdots+X^{n-1}).$

c (n, k)

$c(n,k)$

したがって、最大

反転を伴う

の順列の数は、正確に

反転を伴う

順列の数に等しくなります。これは、ニートコンビナトリアル証拠も（：テイクヒント有する

と削除

）。

c (n + 1, k) = \sum_{l = 0}^{k} c (n, k - l) .

$c(n+1,k) = \sum_{l=0}^k c(n,k-l).$

S_{n}

$S_n$

k

$k$

S_{n + 1}

$S_{n+1}$

k

$k$

π \in S_{n + 1}

$\pi\in S_{n+1}$

n + 1

$n+1$

の係数のみに関心がある場合、係数は違いを生じません。そうするために、の係数であり、には $X^k$ $X^m$ $m > k$ $n > k$ $c(n,k)$ $X^k$

\begin{aligned} 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{k - 1}) (1 + X + \dots + X^{k} + \dots)^{n - k} \\ = & 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{k - 1}) \frac{1}{(1 - X)^{n - k}} \\ = & 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{k - 1}) \sum_{t = 0}^{\infty} (\binom{t + n - k - 1}{t}) X^{t} . \end{aligned}

$\begin{align*} &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) (1+X+\cdots+X^k+\cdots)^{n-k} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \frac{1}{(1-X)^{n-k}} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \sum_{t=0}^\infty \binom{t+n-k-1}{t} X^t. \end{align*}$

c (n, k) = \sum_{t = 0}^{k} (\binom{n + t - k - 1}{t}) c (k, k - t), n > k .

$c(n,k) = \sum_{t=0}^k \binom{n+t-k-1}{t} c(k,k-t), \quad n > k.$

$k$ $t = k$

c (n, k) = (\binom{n - 1}{k}) + O_{k} (n^{k - 1}) = \frac{1}{k!} n^{k} + O_{k} (n^{k - 1}) .

$c(n,k) = \binom{n-1}{k} + O_k(n^{k-1}) = \frac{1}{k!} n^k + O_k(n^{k-1}).$

c (n + 1, k)

$c(n+1,k)$

$k$ $\binom{n+t-k-1}{t} = \binom{n+t-k-1}{n-k-1}$ $t$ $\sum_{t=0}^k c(k,t) \leq k!$

(\binom{n - 1}{k}) \leq c (n, k) \leq k! (\binom{n - 1}{k}) .

$\binom{n-1}{k} \leq c(n,k) \leq k! \binom{n-1}{k}.$

— ユヴァル・フィルマス
ソース

スターリングの近似と二項境界を使用して、最後の式を簡略化できます。

c (n, k) \leq k! (\binom{n - 1}{k}) \leq e k^{k + 1 / 2} e^{- k} (e (n - 1) / k)^{k}

$c(n,k)\leq k!\binom{n-1}{k} \leq ek^{k+1/2}e^{-k}(e(n-1)/k)^k$

c (n, k) \leq e \sqrt{k} (n - 1)^{k}

$c(n,k) \leq e\sqrt{k}(n-1)^k$

— SamM