理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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Blumの
このスレッド、Norbetブルムの試みP≠NPP≠NPP \neq NP証明は簡潔タルドス機能が定理6の反例であることに留意することによって反証されます。 定理6：レッツf∈Bnf∈Bnf \in \mathcal{B}_n任意の単調ブール関数です。C m（f ）の下限を証明するために使用できるCNF-DNF-approximator があると仮定します。次に、Aを使用して、C s t（f ）の同じ下限を証明することもできます。AA\mathcal{A}Cm(f)Cm(f)C_m(f)AA\mathcal{A}Cst(f)Cst(f)C_{st}(f) ここに私の問題があります：Tardos関数はブール関数ではないので、定理6の仮説をどのように満たすのでしょうか？ で、この論文、彼らは、機能の複雑さについて議論φ(X)≤f(v)φ(X)≤f(v)\varphi(X) \leq f(v)増加のエッジが作ることができるので、一般的なAの単調論理関数ではないが、作ることが大きな入力のがより少ない場合にtrueだった場合、 false 。関数ない、一般的には、計算にとに。φ(X)φ(X)\varphi(X)φ(X)≤f(v)φ(X)≤f(v)\varphi(X) \leq f(v)111φ(X)≥f(v)φ(X)≥f(v)\varphi(X) \geq f(v)111T1T1T_1000T0T0T_0 実際には、テスト・セット及びそう計算することを正確に選択される上のとに単調では正確クリークを計算する際に、あなたの関数を意味する（それらが境界画定「sおよび」入力の格子によ）、したがって、これらの発言は、Tardos関数がCLIQUEと同じであることを意味しますが、これは明らかに正しくありません。T1T1T_1T0T0T_0111T1T1T_1000T0T0T_0111000 それでも、非常に多くの人々-そしてそのような知識のある人々-は、Tardos関数が即時の反例を提供すると主張しているので、私が見逃している何かがあるはずです。利害関係者であるが、あなたのレベルにはまだ及ばない私たちについて、詳細な説明や証拠を提供してください。
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相対化しない計算可能性理論の結果はありますか？
Andrej Bauerの論文「合成計算可能性理論の最初のステップ」を読んでいました。結論では、彼は 私たちの公理化には限界があります。オラクル計算に相対化できない計算可能性理論の結果を証明することはできません。これは、オラクルにアクセスできる部分再帰関数から構築された効果的なtoposの変形で理論を解釈できるためです。 これにより、計算可能性における相対化されていない結果について疑問に思いました。計算可能性理論から私が知っているすべての結果は、オラクルを使用した計算に相対化されています。 相対化しない計算可能性理論の結果はありますか？すなわち、計算可能性は保持するが、一部の神託と比較して計算可能性は保持しない結果ですか？ 結果として、私は計算可能性理論の既知の定理を意味し、いくつかの口実な声明ではありません。相対化の概念が結果に対して意味をなさない場合、それは私が探しているものではありません。 結果が合成計算可能性理論の言語で述べられるかどうかを知ることも興味深いです。
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ラムダ計算の作成の当初の意図は何でしたか？
私は最初に、チャーチが彼の「論理の仮説」論文の一部として -calculusを提案したことを読みました（これは密な読みです）。しかし、クリーンは彼の「システム」の矛盾を証明し、その後、教会は「効果的な計算可能性」に関する彼の研究に関連するものを抽出し、論理に関する彼の以前の研究を放棄した。λλ\lambda 私が理解しているように、システムとその表記法は、ロジックに関係する何かの一部として形を取りました。後に彼が分岐したことを達成しようとしていた教会は何でしたか？\ lambda -calculus を作成した最初の理由は何ですか？λλ\lambdaλλ\lambda
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SATの現在の最適な空間の下限は？
前の質問に続いて、 SATの現在の最適な空間の下限は何ですか？ ここでスペースの下限とは、バイナリワークテープアルファベットを使用するチューリングマシンで使用されるワークテープセルの数を意味します。TMは内部状態を使用して任意の固定数のワークテープセルをシミュレートできるため、定数の加法的項は避けられません。ただし、暗黙的に残されることが多い乗法定数を制御することに興味があります。通常のセットアップでは、より大きなアルファベットを介して任意の定数圧縮が許可されるため、乗法定数はそこでは関係ありませんが、固定アルファベットではそれを考慮することができるはずです。 たとえば、SATには以上のloglogn+clog⁡log⁡n+c\log\log n + cスペースが必要です。そうでない場合、この空間の上限は、シミュレーションによって時間の上限につながるため、SATの結合されたn 1.801 + o （1 ）時空の下限に違反します（リンクを参照してください）質問）。また、SATが少なくとも必要であることを主張するために、この引数を向上させることが可能と思わδ ログのn + Cのいくつかの小さな正のためのスペースδのようなものである0.801 / Cをn1+o(1)n1+o（1）n^{1+o(1)}n1.801+o(1)n1.801+o（1）n^{1.801+o(1)}δlogn+cδログ⁡n+c\delta\log n + cδδ\delta0.801/C0.801/C0.801/Cここで、CCCは、時間制限TMによる空間制限TMのシミュレーションの定数指数です。 あいにく、CCCは通常非常に大きくなります（TMのテープが最初に大きなアルファベットを介して1本のテープにエンコードされる通常のシミュレーションでは、少なくとも2つ）。このような境界δ≪1δ≪1\delta \ll 1かなり弱く、そして私は特にの下限空間に興味があるlogn+cログ⁡n+c\log n + c。Ω(nd)Ω（nd）\Omega(n^d)ステップの無条件の時間下限は、十分に大きい定数d>1d>1d > 1場合、シミュレーションによるそのような空間の下限を意味します。しかし、時間下の境界Ω(nd)Ω（nd）\Omega(n^d)のためにd>1d>1d>1は、大きなについては言うまでもなく、現在知られていませんddd。 別の言い方をすると、SATの超線形時間の下限の結果であるが、より直接取得できる可能性があるものを探しています。
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コンピュータ支援のNP完全性証明に興味がある
トーマス・J・シェーファーによる論文「満足度の問題の複雑さ」で、著者は次のように述べています。 This raises the intriguing possibility of computer-assisted NP-completeness proofs. Once the researcher has established the basic framework for simulating conjunctions of clauses, the relational complexity could be explored with the help of a computer. The computer would be instructed to randomly generate various input configurations and test whether the …
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交差点タイプと共用体タイプの実際的な問題は何ですか？
学習体験として、静的に型付けされた単純な関数型プログラミング言語を設計しています。 私がこれまでに実装した型システムは、（少し余分な作業を行うことで）交差型と共用体型を組み込むことができるようです。 <Union String Integer> <Union Integer Foo> 上記の2つのタイプの共通部分はプレーンです Integer 2つのタイプの結合は次のようになります <Union String Integer Foo> もちろん、これが可能であるという事実は、必ずしもそれが優れたデザインアイデアであることを意味するわけではありません。特に、型をばらばらにしたり、重複を処理したりすることの実装の難しさを少し心配しています。 このような機能を型システムに組み込むことの長所と短所は何ですか？
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重み付けされていないグラフでは簡単ですが、重み付けされたグラフでは難しい問題
多くのアルゴリズムグラフの問題は、重みなしグラフと重み付きグラフの両方で多項式時間で解決できます。いくつかの例は、最短経路、最小スパニングツリー、最長経路（有向非巡回グラフ）、最大フロー、最小カット、最大マッチング、最適な樹枝状突起、特定の最も密度の高いサブグラフ問題、最大非連結有向カット、特定のグラフクラスの最大クリーク、最大独立特定のグラフクラス、さまざまな最大ディスジョイントパス問題などで設定されます。 そこでは多項式時間で解けるされているいくつかの（おそらく大幅に少ないが）問題は、しかし、ある重み付けされない場合は、しかし、ハードになる（またはオープン状態を持っている）、加重ケース。以下に2つの例を示します。 所与完全グラフ-vertex、整数K ≥ 1、スパニング見つけるkは、エッジの最小可能数のサブグラフを-connected。これは、最適なグラフの構造を伝えるF. Hararyの定理を使用して、多項式時間で解くことができます。一方、エッジに重みが付けられている場合、最小重みk接続されたスパニングサブグラフを見つけることはN P -hardです。nnnK ≥ 1k≥1k\geq 1kkkkkkNPNPNP S. Chechik、MP Johnson、M。Parter、およびD. Pelegの最近の（2012年12月）論文（http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdfを参照 ）は、とりわけ、パスの問題を考慮しています最小露出パスを呼び出します。ここで指定された2つのノード間のパスの1つのルックス、その結果、パス上のノードの数、プラスパスに隣人を持っているノードの数が最小です。彼らは、有界度のグラフでは、これは重み付けされていない場合のために多項式時間で解くが、となりすることができることを証明する度が4（注バインドさえして、重み付けされた場合には-hard：参照は質問への答えとして発見された何このパスの問題の複雑さは？）NPNPNP この性質の他の興味深い問題、つまり、加重バージョンに切り替えると「複雑さのジャンプ」が発生する場合はどうですか？
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正確な平面電気の流れ
平面グラフGとしてモデル化された電気ネットワークを考えます。各エッジは1Ω抵抗を表します。 Gの2つの頂点間の正確な実効抵抗をどれくらい迅速に計算できますか？ 同様に、Gの2つの頂点に1Vのバッテリーを取り付けた場合、各エッジに沿って流れる正確な電流をどれくらい迅速に計算できますか？ キルヒホッフのよく知られている電圧と電流の法則は、この問題を軽減し、エッジごとに1つの変数を持つ線形方程式を解くことになります。より最近の結果-Klein andRandić（1993）によって明示的に記述されていますが、Doyle and Snell（1984）の初期の研究では暗黙的です-そのノードのポテンシャルを表す頂点ごとに1つの変数を持つ線形システムを解く問題を軽減します; この線形システムの行列は、グラフのラプラシアン行列です。 どちらの線形システムも、ネストされた解剖と平面セパレーターを使用して、時間で正確に解くことができます[ Lipton Rose Tarjan 1979 ]。 これは既知の最速のアルゴリズムですか？O （n3 / 2）O(n3/2)O(n^{3/2}) Spielman、Teng、およびその他の最近の独創的な結果は、任意のグラフのラプラシアン系がほぼ線形時間でほぼ解けることを意味しています。現在の最高の実行時間については[ Koutis Miller Peng 2010 ]を参照してください。概要については、Simons FoundationのErica Klarreichによるこの驚くべき記事を参照してください。しかし、私は特に平面グラフの正確なアルゴリズムに興味があります。 一定時間で正確な実数演算をサポートする計算モデルを想定します。
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行列式と永続の下限
深さ3での最近のキャズムの結果（特に、上の行列式に対する深さ3演算回路を生成します）、次の質問があります：グリゴリエフとカルピンスキーは、有限体上の行列の行列式を計算する深さ3算術回路の下限を証明しました（これは推測しますが、恒久的にも保持されます）。パーサーを計算するためのライザーの式は、サイズ深さ3の算術回路を与えます、N×NC2Ω（N）のN×NO（N22N）=2O（N）2n√ログn2nlog⁡n2^{\sqrt{n}\log{n}}n × nn×nn \times n CC\mathbb{C}2Ω （n ）2Ω(n)2^{\Omega{(n)}}n×nn×nn \times nO(n22n)=2O(n)O(n22n)=2O(n)O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}。これは、結果が本質的に有限フィールド上のパーマネントの深さ3回路に対して厳密であることを示しています。2つの質問があります。 1）パーサーのRyserの式に類似した行列式の深さ3の式はありますか？ 2）決定多項式\ textit {always}を計算する算術回路のサイズの下限は、恒久多項式の下限になりますか？（それらは同じ多項式です）。F2F2\mathbb{F}_2 私の質問は現在、有限体上のこれらの多項式に関するものですが、任意の体上のこれらの質問の状態も知りたいです。
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すべての最短パスが一意であるグラフ
Iは無向、重み付けされていない、接続されたグラフを探してい、各ペアのためにここでU 、V ∈ V、一意あるU → Vの距離を実現する経路D （U 、Vが）。G = （ V、 E）G=（V、E）G=(V,E)U 、V ∈ Vあなたは、v∈Vu,v \in Vu → vあなたは→vu \rightarrow vd（u 、v ）d（あなたは、v）d(u,v) このクラスのグラフはよく知られていますか？他にどんなプロパティがありますか？たとえば、すべてのツリーはこのようなものであり、均等なサイクルのないすべてのグラフも同様です。ただし、この種のサイクルを含むグラフもあります。
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3次グラフでは簡単ですが、最大次数3のグラフでは難しい問題はありますか？
キュービックグラフは、すべての頂点が次数3のグラフです。それらは広範囲に研究されており、いくつかのNP困難な問題は、キュービックグラフのサブクラスに制限されてもNP困難のままですが、他のいくつかはより簡単になることを知っています。立方グラフのスーパークラスは、最大次数持つグラフのクラスです。Δ ≤ 3Δ≤3\Delta \leq 3 3次グラフの多項式時間で解くことができる問題はありますが、最大次数グラフではNP困難です？Δ ≤ 3Δ≤3\Delta \leq 3
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数学者向けのアルゴリズムの簡潔な紹介
高比率理論をカバーしたアルゴリズムに関する簡潔な紹介テキストを探していますそれは最初から始めなければなりませんが、実世界の例、初歩的な証明技術などにあまり時間を費やすことなく、すぐに進歩しなければなりません。 。覆われた理論総ページ数。theory coveredtotal number of pages.\frac{\mbox{theory covered}}{\mbox{total number of pages}}. そのようなテキストはありますか？推奨事項はありますか？
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漸近的な最悪のケースの分析を科学者に正当化する
私は、生物学者にとって興味深い/有用であることを目標に、計算の複雑さから理論生物学、特に進化と生態学にいくつかの結果を導入することに取り組んでいます。私が直面した最大の困難の1つは、下限に対する漸近的な最悪ケース分析の有用性を正当化することです。科学的な聴衆に対して下限と漸近的な最悪のケースの分析を正当化する記事の長さの参照はありますか？ 私は、私が利用できる限られたスペースで正当化する必要はありません（記事の中心ではないので）執筆の中で延期できる良い参考資料を本当に探しています。私はまた、認識しています他の種類とパラダイムので、分析の私はない最悪の場合は、「最良の」分析であると言うの参照を求めている（それはあまりないときに設定があるので）、そうではありませんことを完全に役に立たない：実際の入力での実際のアルゴリズムの振る舞いに対する理論的に有用な洞察を依然として提供することができます。執筆が一般科学者を対象にしていることも重要です エンジニア、数学者、コンピューター科学者だけではありません。 例として、複雑性理論を経済学者に紹介するティム・ラフガーデンのエッセイは、私が望むものに対して正しい軌道に乗っています。ただし、セクション1と2のみが関連し（残りは経済的すぎます）、対象とする聴衆は、定理と補題に反した思考にほとんどの科学者より少し快適です[1]。 詳細 進化における適応ダイナミクスのコンテキストでは、理論生物学者からの2つの特定のタイプの抵抗に出会いました。 [A]「なぜ、任意の振る舞いに注意を払う必要があるのnnnですか？ゲノムにはn=3∗109n=3∗109n = 3*10^9塩基対（または遺伝子）があり、それ以上ないことがすでにわかっています。」n=2∗104n=2∗104n = 2*10^4 これは、「ではなく秒待機することを想像できます」という引数を使用して比較的簡単に解決できます。しかし、より複雑な議論は、「確かに、特定のだけに関心があると言いますが、あなたの理論はこの事実を決して使用せず、単に大きいが有限であるということを使用します。漸近解析」。2 10 9 n10910910^9210921092^{10^9}nnn [B]「しかし、これらのガジェットでこの特定のランドスケープを構築することで、これが難しいことだけを示しました。平均ではなく、なぜこれを気にする必要があるのですか？」 この分野で一般的に使用されるツールの多くは統計物理学から来ているため、これは対処するのがより難しい批判です。統計物理学では、均一な（または他の特定の単純な）分布を仮定しても安全です。しかし、生物学は「歴史のある物理学」であり、ほとんどすべてが平衡または「典型的」ではなく、経験的知識は不十分です入力の分布に関する仮定を正当化するため。言い換えれば、ソフトウェアエンジニアリングの均一分布平均ケース分析に対して使用されるものと同様の引数が必要です。「アルゴリズムをモデル化するため、ユーザーがアルゴリズムとどのように対話するか、その分布を合理的なモデルを構築することはできません入力は、心理学者またはエンドユーザー向けであり、当社のものではありません。」この場合を除き、科学は「心理学者またはエンドユーザー」に相当するものが存在して、基礎となる分布を把握する（またはそれが意味がある場合でも）立場にありません。 メモと関連する質問 リンクでは認知科学について説明していますが、考え方は生物学でも似ています。あなたの閲覧の場合の進化や理論生物学誌、あなたはめったに定理・補題プルーフ表示されませんし、あなたが行うとき、それは通常、単に計算の代わりの存在証明や複雑な建築のようなものになります。 アルゴリズムの複雑さ分析のパラダイム ワーストケース、平均ケースなどの他の種類の実行時間分析？ アルゴリズムレンズによる生態学と進化 経済学者が計算の複雑さを気にするべき理由
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統一とガウス消去
統合アルゴリズムとガウス消去法の関係を正確に説明する参照を知っている人はいますか？特に、三角置換とLU分解の関係に興味があります。 ウェイン・スナイダーとジャン・ギャリエは、論文「高次統一再訪：変換の完全なセット」を渡す際にこの類似性に言及しています。
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