重み付けされていないグラフでは簡単ですが、重み付けされたグラフでは難しい問題

多くのアルゴリズムグラフの問題は、重みなしグラフと重み付きグラフの両方で多項式時間で解決できます。いくつかの例は、最短経路、最小スパニングツリー、最長経路（有向非巡回グラフ）、最大フロー、最小カット、最大マッチング、最適な樹枝状突起、特定の最も密度の高いサブグラフ問題、最大非連結有向カット、特定のグラフクラスの最大クリーク、最大独立特定のグラフクラス、さまざまな最大ディスジョイントパス問題などで設定されます。

そこでは多項式時間で解けるされているいくつかの（おそらく大幅に少ないが）問題は、しかし、ある重み付けされない場合は、しかし、ハードになる（またはオープン状態を持っている）、加重ケース。以下に2つの例を示します。

1. 所与完全グラフ-vertex、整数K ≥ 1、スパニング見つけるkは、エッジの最小可能数のサブグラフを-connected。これは、最適なグラフの構造を伝えるF. Hararyの定理を使用して、多項式時間で解くことができます。一方、エッジに重みが付けられている場合、最小重みk接続されたスパニングサブグラフを見つけることはN P -hardです。$n$$k\geq 1$$k$$k$$NP$

2. S. Chechik、MP Johnson、M。Parter、およびD. Pelegの最近の（2012年12月）論文（http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdfを参照 ）は、とりわけ、パスの問題を考慮しています最小露出パスを呼び出します。ここで指定された2つのノード間のパスの1つのルックス、その結果、パス上のノードの数、プラスパスに隣人を持っているノードの数が最小です。彼らは、有界度のグラフでは、これは重み付けされていない場合のために多項式時間で解くが、となりすることができることを証明する度が4（注バインドさえして、重み付けされた場合には-hard：参照は質問への答えとして発見された何このパスの問題の複雑さは？）$NP$

この性質の他の興味深い問題、つまり、加重バージョンに切り替えると「複雑さのジャンプ」が発生する場合はどうですか？

近似アルゴリズムの世界には、容量制限された頂点カバー問題があります。所与と整数容量C （V ）毎V ∈ Vの目標は、の最小サイズの頂点カバーを見つけることであるGによって覆われたエッジの数ここでvが最大であるC （V ）。この問題は、重み付けされていない場合（つまり、頂点カバーのサイズを最小化する場合）に定数因子近似を持ちますが、Ω （log n ） -hard（ただし$G=(V,E)$$c(v)$$v \in V$$G$$v$$c(v)$$\Omega(\log n)$）重み付けの場合（各頂点には重み w （v ）があり、カバーの重みを最小化したい）。$P = NP$$w(v)$

私のお気に入りの例は、独立支配問題です（グラフと整数kが与えられた場合、Gには最大k個の頂点の包含最大独立セットがありますか？）。Martin Farber（ここを参照）による素晴らしい結果により、重み付けされていないバージョンはコードグラフで多項式的に解くことができます。Gerard Changは、重み付きバージョンがコードグラフのNP完全であることを証明しています（こちらを参照）。$G$$k$$G$$k$

二部グラフの完全なマッチング問題はあり、二部グラフの完全な重みの完全マッチングはN P -Completeです。$P$$NP$

Mohammad Al-Turkistanyの答えに続いて、正確に与えられた重みを持つ解があるかどうかを尋ねると、重み付きの場合、多項式時間で解ける重みなし問題の多くを完全にすることができるようです。理由は、これにより、サブセット合計問題を考慮対象タスクにエンコードできるためです。$NP$

$W$$W$

グラフバランシング（Min Out-degree Orientation）は、この現象の別の例です。この問題では、無向のエッジ加重グラフが与えられます。目的は、結果として得られる有向グラフの（重み付き）最大出次数が最小化されるように、エッジを方向付けることです。

問題は、多くの場合、スケジューリングシナリオによって動機付けられます。各頂点がプロセッサであり、各エッジが2つのエンドポイントのいずれかでのみ実行できるジョブであると想像してください。エッジの重みは、対応するジョブの長さであり、目標はメイクスパンを最小化することです。

問題は、すべての重みが1または2であっても、NPハードおよびAPXハードです（SODA 2008のEbenlendrらの「グラフバランシング：無関係な並列マシンのスケジューリングの特殊なケース」を参照）。ただし、重み付けされていないグラフの場合はPになります（Asahiro et al。CATS 2008の「グラフクラスと最大重み付き次数を最小化するグラフの向きの複雑さ」を参照）。

たぶんこれは些細な例であり、あなたは退化したケースと考えるかもしれませんが、私の頭に浮かんだ最初の例は巡回セールスマン問題です（通常はグラフが完全であると仮定されます）。重み付けされていないバージョンはハミルトニアンサイクルであり、完全なグラフでは簡単なことに注意してください。

遅延制約（別名Constrained Shortest Path問題）の下で最小コストパスを見つけることは、ここに収まるようです。

$G=(V,E)$$d:V\to\mathbb {N}^+$$c:\to\mathbb {N}^+$$D\in \mathbb {N}^+$$s,t\in V$

$s-t$$D$

$\forall v\in V:d(v) =1$$hop-count$

問題に重みが付けられている場合、それは制約付き最短パスになります。これは、DAG上でもNP完全であることが知られています。

FLIP近傍でのLocal Max Cutの問題は、一般的な整数重み付きグラフではPLS完全です。

AAシェーファーとM.ヤンナカキス。（1991）。解決が難しい単純なローカル検索の問題。SIAM Journal on Computing、20（1）：56-87。

ただし、グラフのサイズで最大の重みが多項式の場合、ポテンシャルの局所的な改善（カットの重み）は多項式時間で収束します。これは、改善ごとにポテンシャル関数が少なくとも1つ増加し、多項式限界です。（一般的な重みでは、特定の開始カットからの局所的な改善によって到達可能なソリューションを見つけることは、PSPACE完全です。）

同様のことが他の「潜在的なゲーム」でも発生します。

巡回セールスマンは販売されたグリッドグラフで開いていますが、ハミルトンサイクル（重みのないバリアント）は多項式であることが知られています。

未解決問題プロジェクトに関する両方の議論：

http://cs.smith.edu/~orourke/TOPP/P54.html

上2K_1フリー最大カット多項式と加重最大カットがNP完全であるです。