相対化しない計算可能性理論の結果はありますか？

Andrej Bauerの論文「合成計算可能性理論の最初のステップ」を読んでいました。結論では、彼は

私たちの公理化には限界があります。オラクル計算に相対化できない計算可能性理論の結果を証明することはできません。これは、オラクルにアクセスできる部分再帰関数から構築された効果的なtoposの変形で理論を解釈できるためです。

これにより、計算可能性における相対化されていない結果について疑問に思いました。計算可能性理論から私が知っているすべての結果は、オラクルを使用した計算に相対化されています。

相対化しない計算可能性理論の結果はありますか？すなわち、計算可能性は保持するが、一部の神託と比較して計算可能性は保持しない結果ですか？

結果として、私は計算可能性理論の既知の定理を意味し、いくつかの口実な声明ではありません。相対化の概念が結果に対して意味をなさない場合、それは私が探しているものではありません。

結果が合成計算可能性理論の言語で述べられるかどうかを知ることも興味深いです。

computability relativization

— 匿名
ソース

IP = PSPACEのような複雑性理論の非相対化結果については誰もが知っています。複雑性理論の結果ではなく、非相対性の計算可能性理論の結果について尋ねています。

— 匿名

@Erfan：あなたのコメントは質問に関係ありません。私の質問は計算可能性理論についてです。あなたは複雑性理論について話しているのです。非階層化の結果を探しています。階層的定理が相対化する時間です。時間階層の定理と相対化について質問がある場合は、別の質問を投稿できます。

— 匿名

関連するもの：H. Rogersによって定式化されたHomogeneity予想は、Richard A. Shoreで反論されました。均質予想（1979）：チューリング次数が存在するよう同型ではないの部分とチューリング度（構造注文）。lo.logicで同様の質問を参照してください

a

$\mathbf{a}$

D (\geq a)

$\mathcal{D}(\geq \mathbf{a})$

D

$\mathcal{D}$

\leq_{T}

$\leq_{T}$

— Marzio De Biasi

良い質問:-)

— アンドレイバウアー

@マルツィオ：興味深い。「つまり、のみを含む言語には、チューリング度についてはtrueであるが、一部のに対してチューリング度に相対化した場合はfalseであるがあることを意味します（もちろん、チューリング度で働いへのすべてのチューリングマシンへのアクセスを与えると等価である証拠、したがって。）oracleとしてに相対化されていない真の缶である。 $\varphi$ $\leq_T$ $\geq_Tx$ $x$ $\geq_Tx$ $x$ $\varphi$ $x$ "しかし、本当ににおける結果ではありません計算可能性理論、それはメタ定理のために作られています。

φ

$\varphi$

— 匿名

回答:

Higmanの埋め込み定理：有限に生成された計算可能に提示されたグループは、厳密に有限に提示されたグループの有限に生成されたサブグループです。さらに、すべての計算可能に提示されたグループ（可算的に生成されたものも含む）は、有限に提示されたグループのサブグループです。

このステートメントは、「計算可能に提示されたグループ（一部のOracle）は、有限に提示されたグループの正確に有限生成されたサブグループです」が、計算できないにはがあることを証明できるため、相対化できないことに注意してください-計算可能に提示されていない計算可能に提示されたグループ。 $O$ $O$ $O$ $O$

実際、計算可能性理論の非相対性の結果は、その一部またはその証明がオラクルした計算可能性から真の計算可能性を何らかの形で「特定」する必要があるため、このフレーバーを持つ必要があります。この場合、「実際の計算可能性」を特定するのは有限性です。スコットアーロンソンが求めたように、この結果は通常の計算モデル（チューリングマシン、RAMなど）には不変ですが、相対化しないことに注意してください（「実際の」計算のすべてのモデルは一般的な「有限性」。 $O$

一方、これは「計算可能性理論の結果」よりもグループを使用した計算可能性の定義に似ているため、この質問には「カウントしない」と主張するかもしれません。一方、それはモデル化に対してロバストな計算可能性の定義であり、相対化しない。（たとえば、オラクルの特徴的な関数を関数の生成セットに追加するだけで、簡単に相対化できる計算可能な関数のKleeneの特性化とは対照的です。

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

あなたの例を区別するのは有限性（対無限性）ですか、それとも可算性（対不可算性）ですか？

— アンドラスサラモン

私の無知を失礼しますが、ヒグマンの定理は均一ですか？つまり、計算可能に提示されたグループが与えられた場合、それを含む有限生成グループを均一に計算できますか？

— アンドレイバウアー

おっと、私の質問の「有限生成」を「有限提示」に置き換えてください。それは些細なエラーでした。私が疑問に思っているのは、「有限に提示された」をもう少し一般的なものに置き換えることができるかどうかです。

— アンドレイバウアー

@AndrewMorgan：あなたの議論の始まりには同意しますが、あなたの結論には同意しません。が完全であることはしばしば非常に便利です。...私はアンドレイの提案のようなI ...すべて不自然でのようクック・レビンの相対化のあまりないと思うし、我々はそれについて考えましょう

S A T^{O}

$SAT^O$

N P^{O}

$NP^O$

— ジョシュアGrochow

@AndrewMorgan：同意した。ノット属は良い候補になると思います:)。

— ジョシュアグロチョフ

これも私がよく考えたものです！

「計算可能性理論の結果」によって、マシンモデル（チューリングマシン、RAMマシンなど）の選択に関して不変の結果を意味する場合、そのような結果の単一の例はわかりません。私はそれを見たなら間違いなく覚えていただろう。

私が答えに最も近いのは、計算機理論に依存する計算可能性理論には多くの興味深い質問があると思うことです。たとえば、ビリングビーバー関数は、チューリングマシンに関する通常の定義では、無限に奇妙な場合がありますか？BB（20）の値はZFCから独立していますか？これらの質問に対する答えが何であれ、BB関数の相対化された類似体では確かに異なる可能性があります。

— スコットアーロンソン
ソース

以下に、多少自明な例を示します。オラクルへのアクセスを（計算モデルの定義により）明確に禁止されているチューリングマシンの停止問題を考えます。それは神託なしと些細な神託の両方に関して決定不能であるが、それでも停止問題に関して神託に関して決定可能である。（問題自体は、オラクルにアクセスできないため、オラクルと比較して変化しませんが、オラクルを考えると、問題を決定する（無制限の）TMはより強力になります。

他にもたくさんの例があります。計算モデルを少し試すだけで、他の同様の結果を見つけることができます。

— フィリップ・ホワイト
ソース

ちょうど好奇心：この答えの正確な問題点は何ですか？おそらく、ダウンボッターはチューリングマシンがオラクルにアクセスすることを禁止することは可能であると信じていないので、これについてさらに説明する必要がありますか？

— フィリップホワイト

マシンが神託を持つことを許可するが、それが神託を使用することを許可しないことは、相対化の非常に公正な定義とは思えません。

— デビッドエップシュタイン

私が探しているものではありませんが、興味深い。私は、相対性を持たない計算可能性理論の既知の結果を探しています。そのような結果をどのように作り上げるかについての議論ではありません。

— 匿名

次の文を考慮してください。H（オラクルのないチューリングマシンの停止問題）は計算できません。一方、Hは、停止する問題のオラクルに関連して計算可能です。これをステートメントを相対化する方法として考えても、それは興味深いものではありません。おそらく、それを偽にするステートメントを相対化する同様の方法があります。相対化とは、単にオラクルをどこかに接続することではありません。相対化は、興味深い引数のクラスを保存する場合に興味深いため、ステートメントが相対化しない場合、引数のクラスはステートメントを証明できないことがわかります。

— カベ

たとえば、BGSの相対化法を使用します。興味深いのは、単純な対角化引数を保存し、P対NPを解決できないためです。相対化がそのような引数を保存しない場合、ステートメントを相対化する興味深い方法ではないでしょう。優れた相対化は、できるだけ多くの既知の議論と実証済みの結果を維持する必要があります。

— カヴェー