すべての最短パスが一意であるグラフ

Iは無向、重み付けされていない、接続されたグラフを探してい、各ペアのためにここでU 、V ∈ V、一意あるU → Vの距離を実現する経路D （U 、Vが）。$G=(V,E)$$u,v \in V$$u \rightarrow v$$d(u,v)$

このクラスのグラフはよく知られていますか？他にどんなプロパティがありますか？たとえば、すべてのツリーはこのようなものであり、均等なサイクルのないすべてのグラフも同様です。ただし、この種のサイクルを含むグラフもあります。

グラフクラスとその包含に関する情報システムによると、これらのグラフは「測地グラフ」という名前で研究されています。

そのようなグラフは確かに測地線です。頂点のペア間に最短で2つの最短パスが存在する場合、グラフは偏極です。一般に、頂点のペア間に最短でk個の最短パスがある場合、グラフは測地線になります。$k$$k$

測地グラフの別の例は、ブロックグラフです。グラフは、すべてのエッジをクリークで置き換えることによりツリーから構築できる場合、ブロックグラフです。同様に、これはダイアモンドのない弦グラフとして知られています。ダイヤモンドは、からエッジを引いたものです。たとえば、Le、Van Bang、およびNguyen Ngoc Tuyの定理1.1を参照してください。「ブロックグラフの正方形。」離散数学310.4（2010）：734-741。$K_4$