Blumの

このスレッド、Norbetブルムの試み $P \neq NP$ 証明は簡潔タルドス機能が定理6の反例であることに留意することによって反証されます。

定理6：レッツ $f \in \mathcal{B}_n$ 任意の単調ブール関数です。下限を証明するために使用できるCNF-DNF-approximator があると仮定します。次に、を使用して、同じ下限を証明することもできます。 $\mathcal{A}$ $C_m(f)$ $\mathcal{A}$ $C_{st}(f)$

ここに私の問題があります：Tardos関数はブール関数ではないので、定理6の仮説をどのように満たすのでしょうか？

で、この論文、彼らは、機能の複雑さについて議論 $\varphi(X) \leq f(v)$ 増加のエッジが作ることができるので、一般的なAの単調論理関数ではないが、作ることが大きな入力のがより少ない場合にtrueだった場合、 false 。関数ない、一般的には、計算にとに。 $\varphi(X)$ $\varphi(X) \leq f(v)$ $1$ $\varphi(X) \geq f(v)$ $1$ $T_1$ $0$ $T_0$

実際には、テスト・セット及びそう計算することを正確に選択される上のとに単調では正確クリークを計算する際に、あなたの関数を意味する（それらが境界画定「sおよび」入力の格子によ）、したがって、これらの発言は、Tardos関数がCLIQUEと同じであることを意味しますが、これは明らかに正しくありません。 $T_1$ $T_0$ $1$ $T_1$ $0$ $T_0$ $1$ $0$

それでも、非常に多くの人々-そしてそのような知識のある人々-は、Tardos関数が即時の反例を提供すると主張しているので、私が見逃している何かがあるはずです。利害関係者であるが、あなたのレベルにはまだ及ばない私たちについて、詳細な説明や証拠を提供してください。

cc.complexity-theory np-hardness complexity-classes

— user144527
ソース

良い情報源は、ジュクナの本 p.272（定理9.28の直前）です。（非ブール）関数所与

ϕ

$\phi$ 、ブール関数を考慮

f_{ϕ}

$f_\phi$ の閾値である

ϕ

$\phi$ ：

、結果が適用されます。

f_{ϕ} (G) = {\begin{cases} 1 & if ϕ (G) \geq \sqrt{n} \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_\phi(G) = \begin{cases} 1 & \text{if } \phi(G) \geq \sqrt{n}\\ 0&\text {otherwise}\end{cases}$

— クレメントC.

したがって、明確にするために、

がサイズ

クリークで

に評価されることを教えています。

f_{ϕ} (G)

$f_\phi(G)$

1

$1$

と

のグラフ上の

適切によって誘導された頂点

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

0

$0$

n

$n$

着色？

⌊ \sqrt{n} - 1 ⌋

$\lfloor \sqrt{n}-1 \rfloor$

— user144527

もちろん、THSはのために保持していない任意の

。しかしタルドス関数

単調グラフ関数に基づいて

満たす

。だから、しきい値

の

正確にあなたが言うん何。ここでセクション9.8の終わりを見てください。

ϕ

$\phi$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

ω (G) \leq ϕ (G) \leq χ (G)

$\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

— Stasys

右。ところで私は実際に人々があなたの（この「証明」の周りのすべてのこのノイズを考慮して適格である）質問をダウン投票する理由を理解していませんか？これは、このP！= NPクレームターンの著者のものです。Tardosの関数に対して「証明」が機能しない理由を説明してください。紙のページXと行Yをポイントします。ヒント：バグは、近似中に導入されたエラーの数の上限になります（否定は、以前の「有効な」用語の多くを消滅させる可能性があります）。それ以外の場合（説明なし）=「証拠」なし。

— Stasys

@Stasys、あなたの最初のコメントが答えになります。

— カヴェー

したがって、これらの発言は、Tardos関数がCLIQUEと同じであることを意味します。 $f$

短い答え-いいえ。

それは単調な「クリークのような」だけです：すべてのクリークを受け入れ、すべての完全な -partiteグラフを拒否します。それは、しかし、CLIQUEによって拒否されたいくつかのグラフを受け入れることができます：グラフとが、（いわゆる"非完全"のグラフ）。Grötschel、Lovász、Schrijver の論文は、が多項式サイズの非単調な回路を持っていることを示唆しています。しかし、中定理6によると「証明」、任意の $k$ $(k-1)$ $G$ $\omega(G) < k$ $\chi(G)\geq k$ $f$ 単調なクリークのようなブール関数は、スーパー多項式サイズの非単調な回路を必要とします。したがって、これら2つの論文の1つは間違っているに違いありません。GLS-1981の論文は35年以上前から存在していました...

Tardosが行うことは次のとおりです。彼女は、グラフ関数から始まり、有名なLovász」シータ関数です。基本的な事実は、数点である：クリークの数と色数との間に挟まれている。彼女はそれから $\varphi(G):=\vartheta(\overline{G})$ $\vartheta$ $\varphi(G)$ $\omega(G)\leq \varphi(G)\leq \chi(G)$ $\vartheta(G)$ 多項式時間で近似できます。これに基づいて、彼女は次のプロパティでグラフ関数を定義します。 $\phi(G)$

値は、多項式時間（頂点の数で計算できます。 $\phi(G)$ $n$
単調です：追加エッジが唯一その価値を高めることができます。 $\phi$
すべてのグラフについても同様。 $\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$ $G$

次いで、（クレメントC.ノートのように）彼女が所望の単調ブール関数定義：として IFF 。（1）により、関数は多項式サイズの（非単調）回路を持ちます。（2）により、は単調なブール関数です。（3）により、はすべてのクリークを受け入れ、すべての完全 -partiteグラフを拒否します。 $f$ $f(G)=1$ $\phi(G)\geq k$ $f$ $f$ $k$ $(k-1)$

参照してください。ここでの技術的な詳細については。

— スタシス
ソース

GLS-1981紙があり、ここで無料。次に、この論文はKhachiyan-1979楕円体論文に基づいています。それで、（少なくとも）これらの3つの論文のうちの1つは間違っているに違いありませんか？

— トビアスミュラー

@Tobias：まあ、これら2つ以上の古い論文は正しいと確信しています（講義で何度も再現されているため、誰かがすでにエラーを観察しているでしょう）。現在の「証拠」の問題は、「議論による」のではなく「構造による」ことである（言及された2つの論文のように）。それから、「建設」が失敗する特定の場所を指すのは困難です。特に「構築」が非常に不正確な場合。これは、私はそれがこの場所を指すように、ではない私たちの、今作者の義務であると考える理由です（タルドスは彼の建設を経由しません。）

— Stasys