理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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データ構造を夢見ましたが、存在しますか？
このデータ構造を見つけることができませんでしたが、私はこの分野の専門家ではありません。 構造体はセットを実装し、基本的には不変量を持つ比較可能な要素の配列です。不変式は次のとおりです（再帰的に定義されます）。 長さ1の配列はマージ配列です。 長さが2 ^ nの配列（n> 0の場合）は、マージ配列です。 前半はマージ配列で、後半は空または 最初の配列はいっぱいでソートされており、後半はマージ配列です。 配列がいっぱいの場合、並べ替えられることに注意してください。 要素を挿入するには、2つのケースがあります。 前半がいっぱいでない場合は、前半に再帰的に挿入します。 前半がいっぱいの場合、後半に再帰的に挿入します。 再帰的なステップの後、配列全体がいっぱいになった場合、（ソートされた）半分をマージし、元の長さの2倍にサイズ変更します。 要素を見つけるには、配列がいっぱいになったときにバイナリ検索を使用して、両方の部分で再帰します。（昇順フラグメントが最大であるため、これは効率的です）。O(log(n))O(log⁡(n))O(\log(n)) この構造は、マージソートの静的バージョンと考えることができます。 要素を消去するために何をすべきかは明確ではありません。 編集：構造の理解を向上させた後。
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特定の
入力ビットと出力ビットの回路が順列を計算するかどうかを決定する複雑さは何ですか？言い換えると、すべてのビット文字列 が、何らかの入力に対する回路の出力であるかどうかです。調査された問題のように見えますが、参考文献が見つかりません。N C0NC0\mathsf{NC}^0nnnnnn{ 0 、1 }n{0、1}n\{0,1\}^n{ 0 、1 }n{0、1}n\{0,1\}^n
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行列のカーネルに、すべてが-1、0、または1である非ゼロベクトルが含まれるかどうかを決定します
所与によってバイナリ行列（エントリがまたは）、問題は、2つのバイナリベクトルが存在するかどうかを決定することであるよう（すべての操作を介して実行）。この問題はNP困難ですか？mmmnnnMMM000111v1≠v2v1≠v2v_1 \ne v_2Mv1=Mv2Mv1=Mv2Mv_1 = Mv_2ZZ\mathbb{Z} 証人として2つのベクトルを与えることができるので、明らかにNPにあります。 同等：が与えられた場合、ようなゼロ以外のベクトルがありますか？MMMv∈{−1,0,1}nv∈{−1,0,1}nv\in \{-1,0,1\}^nMv=0Mv=0Mv=0 同等：上のベクトル与えられた、ような2つの異なるサブセットがあります？nnnX={x1,…,xn}X={x1,…,xn}X=\{x_1,\dots,x_n\}{0,1}m{0,1}m\{0,1\}^mA,B⊆XA,B⊆XA,B \subseteq X∑x∈Ax=∑x∈Bx∑x∈Ax=∑x∈Bx\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x
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NCかどうかの決定
QiChengによる「未解決のNC 0回路が順列を計算するかどうかを決定する」という質問の特別なケースについてお聞きしたいと思います。 各出力ゲートが最大k個の入力ゲートに構文的に依存する場合、ブール回路はNC 0 k回路と呼ばれます。（非巡回有向グラフとして見られるように、回路にgからgへの有向パスがある場合、出力ゲートgは構文的に入力ゲートgに依存すると言います。） 前述の質問で、QiChengは次の問題の複雑さについて尋ねました。ここで、kは定数です。 インスタンス：nビット入力およびnビット出力のNC 0 k回路。質問：与えられた回路は{0、1} nの順列を計算しますか？換言すれば、回路全単射によって計算関数は、{0、1}であるNに{0、1} N？ Kavehがその質問についてコメントしたように、問題がcoNPにあることは容易にわかります。答えとして、問題はk = 5の場合coNP-complete であり、k = 2の場合Pにあることを示しました。 質問。k = 3の複雑さは何ですか？ 2013年5月29日の説明：「{0、1} nの順列」は、{0、1} nからそれ自体への全単射マッピングを意味します。言い換えれば、問題は、すべてのnビット文字列が特定のnビット入力文字列の特定の回路の出力であるかどうかを尋ねます。
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ラドナーの定理とシェーファーの定理
「複雑さを数える際に勝利を宣言する時ですか？」という記事を読みながら 以上で「ゲーデルの失われた文字とP = NP」のブログ、彼らはCSPのための二分法を述べました。いくつかのリンクをたどり、グーグルとウィキピングを行った後、私はラドナーの定理に出会いました： ラドナーの定理： もし、その後に問題がある でない -completeが。N P ∖ P N PP≠NPP≠NP{\bf P} \ne {\bf NP}NP∖PNP∖P{\bf NP} \setminus {\bf P}NPNP{\bf NP} そしてシェーファーの定理へ： シェーファーの二分法定理：\ {0、1 \}上のすべての制約言語に対して、\ \ Gammaがシェーファーの場合、{\ bf CSP}（\ Gamma）は多項式時間可解です。それ以外の場合、{\ bf CSP}（\ Gamma）は{\ bf NP} -completeです。{ 0 、1 } Γ C S P（Γ ）C S P（Γ ）N P Γ …
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古典的定理の量子証明
それにもかかわらず、量子力学/情報とは一見関係のない定理（例えば、純粋に古典的な物体に関する何かを述べている）が量子ツールを使用して証明できる問題の例に興味があります。古典的定理の量子証明（A.ドラッカー、R。ウルフ）の調査では、このような問題の素晴らしいリストが提供されていますが、確かにもっとたくさんあります。 特に興味深いのは、実際の複雑な分析と同様に、量子証明が可能なだけでなく、「より明るく」、複雑な設定に実際の問題を入れることがより自然になる場合の例です（たとえば、代数的に閉じているなど）。言い換えれば、量子世界が「自然の生息地」である古典的な問題。CC\mathbb{C} （私はここで正確な意味で「量子」を定義しておらず、そのようなすべての議論は最終的に線形代数に要約されると主張することができます;まあ、実数のペアのみを使用するために複素数を使用して任意の引数を翻訳することもできます-しかし？）
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置換をその場で適用する複雑さ
驚いたことに、私はこれに関する論文を見つけることができませんでした-おそらく間違ったキーワードを検索しました。 それで、私たちは何かの配列とそのインデックスに関数を持っています。は順列です。fffffff 可能な限りと近いメモリとランタイムでに従って配列を並べ替えるにはどうすればよいですか？O （1 ）O （n ）fffO(1)O(1)O(1)O(n)O(n)O(n) このタスクが簡単になった場合、追加の条件はありますか？たとえば、関数がの逆関数であることを明示的に知っているは？fgggfff 私はサイクルに続き、各インデックスのサイクルを横断してそのサイクルで最小かどうかをチェックするアルゴリズムを知っていますが、再び、最悪の場合の実行時間を持っていますが、平均的にはより良く動作するようです...O(n2)O(n2)O(n^2)
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トポロジプロパティの複雑さ。
私は、トポロジー（連続体理論に強くフレーバーされたポイントセットトポロジーの散在）のコースを受講するコンピューター科学者です。私は、トポロジプロパティの空間の記述を（単純に）テストする決定問題に興味を持ちました。それらは同相写像まで保存されていました。 たとえば、ノットの属を決定するのはPSPACEであり、NP-Hardであることが知られています。（Agol 2006; Hass、Lagarias、Pippenger 1999） 他の結果は、より多くの、より一般的な感じた：AAマルコフ（の息子マルコフは）次元で同相写像するための2つの空間を試験することが1958年に示した以上が（4-マニホールド用決定不可能を示すことによって）決定不能です。残念なことに、この最後の例は、同相写像の下で保存されている特性ではなく、同相写像の問題自体を扱っているため、私の質問の完璧な例ではありません。555 「低次元トポロジー」には、結び目とグラフ理論という大量の仕事があるようです。私は間違いなく低次元トポロジーの結果に興味がありますが、一般化された結果にはもっと興味があります（これらはまれなようです）。 私は平均してNP困難な問題に最も興味を持っていますが、そうではないことがわかっている問題を列挙することを奨励しています。 トポロジー特性の計算の複雑さについてどのような結果が知られていますか？
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Shorの因数分解アルゴリズムのヘルプ
Shorの因数分解アルゴリズムの最終ステップを完全に理解するのに少し苦労しています。 因数分解する与えられた場合、次数を持つランダムなを選択します。NNNxxxrrr 最初のステップには、レジスターのセットアップとアダマール演算子の適用が含まれます。2番目のステップでは、線形演算子が適用されます。2番目のレジスタの3番目のステップが測定されます（このステップは後で実行できると思います）。4番目のステップでは、離散フーリエ変換が最初のレジスタに適用されます。次に、最初のレジスタを測定します。 ここに私が少しかすんでいるところがあります： の形式で測定値を取得します。∣j,xkmodN⟩∣j,xkmodN⟩\mid j , x^k \textrm{mod} N \rangle これから、分数の収束を見つけることができ、収束は次数可能な値です。ここで、すべての収束子を試しますが、収束子の1つとして見つからない場合は、もう一度やり直しますか？j2qj2q \frac{j}{2^q} rr r &lt;N&lt;N < N rr r また、可能な値確率はどのように異なりますか？彼らは私が見るように、彼らはすべて同じ確率を持っているはずですが、ショーの論文はこれは事実ではないと言っていますか？jj j 一部の論文では異なることを言っているように見えるため、少し混乱しています。 ありがとう。
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効率的な量子解によるNP中間問題
Peter Shor は、2つの最も重要なNP中間問題、因数分解と離散対数問題がBQPにあることを示しました。対照的に、SAT（Groverの検索）で最もよく知られている量子アルゴリズムは、古典アルゴリズムよりも2次の改善しか得られず、NP完全問題は量子コンピューターでは依然として扱いにくいことを示唆しています。AroraとBarakが指摘しているように、BQPにはNPにあることが知られていない問題もあり、2つのクラスは比較できないと推測されます。 これらのNP中間問題がBQPにある理由についての知識/推測はありますが、なぜ（私たちが知る限り）SATはそうではないのですか？他のNP中間問題はこの傾向に従っていますか？特に、BQPのグラフ同型性はどうですか？（これはうまくグーグルしません）。
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L1へのL2の等尺性埋め込み
与えられたことが知られているnnnの-pointサブセットℓd2ℓ2d\ell_2^d（与えられるnnnの点RdRd{\mathbb R}^dユークリッド距離）が内等角それらを埋め込むことが可能である。ℓ(n2)1ℓ1(n2)\ell^{n\choose 2}_1 アイソメは（おそらく、ランダム化された）多項式時間で計算可能ですか？ 有限精度の問題があるため、正確な質問は {\ mathbb R} ^ dおよび\ epsilon&gt; 0のn点のセットが与えられると、マッピングf：X \ to {\ mathbb R} ^ {n \ choose 2}が計算可能（おそらくランダム性を使用）時間多項式におけるN対数で1 / \イプシロン毎にこのようなことは、X、XでY \我々はXXXnnnRdRd{\mathbb R}^dϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon >0f:X→R(n2)f:X→R(n2)f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}nnn1/ϵ1/ϵ1/\epsilonx,y∈Xx,y∈Xx,y\in X ||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1 （注：O（\ epsilon ^ {-2} \ cdot …
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線形サイズの回路で解読可能な良いコード？
次のタイプのエラー修正コードを探しています。 一定レートのバイナリコード、 サイズのブール回路としてデコーダの実現可能することによって、エラーのある一定の部分から復号可能な、符号長です。O(N)O(N)O(N)NNN 背景： Spielmanは、Linear-Time Encodable and Decodable Error-Correcting Codesで、対数コストRAMモデルで時間でデコード可能なコードを提供し、サイズの回路でもデコード可能です。O(N)O(N)O(N)O(NlogN)O(Nlog⁡N)O(N \log N) グルスワミとインディクは、ほぼ最適なレートの線形時間符号化/復号化可能コードの構造を改善しました。結果の回路の複雑さは分析されませんが、でもあると思います。Θ(NlogN)Θ(Nlog⁡N)\Theta(N \log N) 前もって感謝します！
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TCSでの結果の「物理的直観」をどのように取得しますか？
この質問が少しあいまいな場合は申し訳ありませんが、成功した研究者がTCSの結果をどのように「感じている」のか興味があります。 たとえば、線形代数は幾何学的に、またはその物理的解釈（固有ベクトルはシステム内の「安定点」と見なすことができます）などで理解できます。また、TQBFのIPプロトコル（IPプロトコルは、計算能力が大きく異なる2つのエンティティ間の一種の「ゲーム」として視覚化できます。しかし、TCSの非常に基本的な結果でさえ、そのような単純な直感を持たない（MA AM）多くの結果が見つかりました。さらに悪いことに、未精製の直観がひどく慎重になることがあります（2-SATはPであり、3-SATはPであるとは考えられていません（実際にはNP完全です））。TCSで直感を開発するための「一般原則」はありますか？⊆⊆\subseteq
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Karger-Stein分岐増幅の他のアプリケーション？
大学院のアルゴリズムクラスでKarger-Steinランダムミンカットアルゴリズムを教えました。これは本当のアルゴリズムの宝石なので、教えることはできませんが、メインテクニックの他のアプリケーションを知らないので、常にイライラさせられます。（だから、ポイントを家に導く宿題を割り当てるのは難しい。） Karger and Steinのアルゴリズムは、以前のKargerのアルゴリズムを改良したもので、グラフの頂点が2つだけになるまでランダムなエッジを繰り返し縮小します。この単純なアルゴリズムは時間で実行され、確率Ω （1 / n 2）で最小カットを返します。ここで、nは入力グラフの頂点の数です。洗練された「再帰的収縮アルゴリズム」は、頂点の数がnからn / √に低下するまでランダムエッジを繰り返し収縮します。O(n2)O(n2)O(n^2)Ω(1/n2)Ω(1/n2)\Omega(1/n^2)nnnnnn、残りのグラフで再帰的に自分自身を2回呼び出し、結果の2つのカットのうち小さい方を返します。洗練されたアルゴリズムの簡単な実装は、O（n2logn）時間で実行され、確率Ω（1/logn）で最小カットを返します。（これらのアルゴリズムのより効率的な実装と、より優れたランダム化アルゴリズムがあります。）n/2–√n/2n/\sqrt{2}O(n2logn)O(n2log⁡n)O(n^2\log n)Ω(1/logn)Ω(1/log⁡n)\Omega(1/\log n) 同様の分岐増幅技術を使用するランダム化アルゴリズムは他にありますか？私は、グラフのカットを（明らかに）含まない例に特に興味があります。
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Parity-L = Pの結果は何ですか？
Parity-Lは、（ゼロまたはゼロ以外の数の受け入れパスではなく）偶数または奇数の「受け入れ」パスのみを区別できる非決定的チューリングマシンによって認識される言語のセットです。さらに対数空間での作業に制限されています。ℤ上の方程式の線形システムを解く2はパリティ-Lのための完全な問題であり、パリティLようPに含まれています Parity-LとPが等しい場合、他にどのような複雑度クラス関係が知られますか？
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