ラドナーの定理とシェーファーの定理

「複雑さを数える際に勝利を宣言する時ですか？」という記事を読みながら 以上で「ゲーデルの失われた文字とP = NP」のブログ、彼らはCSPのための二分法を述べました。いくつかのリンクをたどり、グーグルとウィキピングを行った後、私はラドナーの定理に出会いました：

ラドナーの定理： もし、その後に問題がある でない -completeが。N P ∖ P N ${\bf P} \ne {\bf NP}$${\bf NP} \setminus {\bf P}$${\bf NP}$

そしてシェーファーの定理へ：

シェーファーの二分法定理：\ {0、1 \}上のすべての制約言語に対して、\ \ Gammaがシェーファーの場合、{\ bf CSP}（\ Gamma）は多項式時間可解です。それ以外の場合、{\ bf CSP}（\ Gamma）は{\ bf NP} -completeです。{ 0 、1 } Γ C S P（Γ ）C S P（Γ ）N $\ \Gamma$$\{0, 1\}$$\ \Gamma$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf CSP}(\Gamma)$${\bf NP}$

これを読んで、ラドナーでは、${\bf P}$でも{\ bf NP}でもない問題があることを意味します${\bf NP}$が、シェーファーでは、問題は${\bf P}$と${\bf NP}$完了していますのみ。

私は何が欠けていますか？これら2つの結果が互いに矛盾しないのはなぜですか？

ここから上記の定理の要約版を取り上げました。「最終コメント」セクションで、「したがって、問題が${\bf NP} \setminus {\bf P}$が、${\bf NP}$ -completeではない場合、CSPとして定式化できない」と述べています。 。

これは、${\bf SAT}$問題が{\ bf NP}にあるいくつかのインスタンスを見逃しているということ${\bf NP}$ですか？そんなことがあるものか？

Massimo Lauriaが述べているように、CSP（）という形式の問題はかなり特殊です。したがって、矛盾はありません。$\Gamma$

制約充足問題のインスタンスは、関係構造とペアとして表すことができ、ソースからターゲットへの関係構造準同型が存在するかどうかを判断する必要があります。 S T S $(S,T)$$S$$T$$S$$T$

CSP（）は、特別な種類の制約充足問題です。ターゲットリレーショナル構造のからの関係のみを使用して構築されるリレーショナル構造のすべてのペアで構成されます：CSP（）=です。シェーファーの定理は、が上の関係のみを含む場合、CSP（）はNP完全またはPであると言いますが、CSPインスタンスの他のコレクションについては何も言いません。Γ Γ { （S 、T ）| すべての関係  Tが 由来である  Γ } Γ { 0 、1 } $\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\{(S,T) \mid \text{all relations of } T \text{ are from } \Gamma\}$$\Gamma$$\{0,1\}$$\Gamma$

極端な例として、NP完全なCSP（）、および言語の「ブローホール」から始めることができます。（ラドナーは、彼の定理の証明に土でこれをやった。）結果はインスタンスの一部だけを含むサブセットではありません、フォームCSP（中もはや任意のための）。構築を繰り返すと、P≠NPであると仮定して、硬さの減少する無限の言語階層が生成されます。Γ " Γ $\Gamma$$\Gamma'$$\Gamma'$

問題には一般的な問題にはない構造があることを理解する必要があります。簡単な例を挙げます。ましょう。この言語では、2つの変数間の等式と不等式のみを表現できます。明らかに、こうした制約のセットは、多項式時間で解くことができます。S A T Γ = { { （0 、0 ）、（1 、1 ）} 、{ （0 、1 ）、（1 、0 ）} $\mathsf{CSP}$$\mathbf{SAT}$$\Gamma=\{\{(0,0),(1,1)\},\{(0,1),(1,0)\}\}$

と句の関係を明確にする2つの引数を示します 。以下はすべて想定していることに注意してください。$\mathsf{CSP}$$\mathbf{P}\not=\mathbf{NP}$

まず、制約には固定数の変数がありますが、中間問題のエンコードには大きな節が必要な場合があります。このような大きな制約が、補助変数を使用して小さな制約の結合として表現できる場合、これは必ずしも問題ではありません。残念ながら、これは一般的なは必ずしも当てはまりません。$\Gamma$

5つの変数ののみを含むようにを想定します。入力を繰り返すことで、より少ない変数のを明確に表現できます。 拡張変数を使用してそれを行うには、正および負のリテラルの分離を必要とするため、より大きな表現できません。 は、リテラルではなく変数の関係を表します。実際、3-を場合、にはいくつかの否定入力（0〜3）との分離の4つの関係を含める必要があります。$\Gamma$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\mathsf{OR}$$\Gamma$$\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$$\Gamma$

2番目：各リレーションは、（たとえば）3つのリテラルを持つ句のバッチとして表現できます。各制約は、このような句のバッチ全体である必要があります。等式/不等式制約の例では、バイナリ否定 （つまり、関係 ）を強制しない限り、バイナリ（つまり、関係） を使用できません同じ変数で。$\Gamma$$\mathsf{AND}$${(1,1)}$$\mathsf{OR}$${(0,0)}$

これが、から取得したインスタンスが非常に特異な構造を持っていることを示してくれることを願っています。これは性質によって強制されます。構造がきつすぎると、難しい問題を表現できません。 $\mathbf{SAT}$$\mathsf{CSP}$$\Gamma$

シェーファーの定理の帰結は、が決定問題を表現するのに十分ゆるい構造を実施する場合、同じが一般的な3-インスタンスを表現するのに十分な自由を与えることです。$\Gamma$$\mathbf{NP\backslash P}$$\Gamma$$\mathsf{SAT}$