効率的な量子解によるNP中間問題

Peter Shor は、2つの最も重要なNP中間問題、因数分解と離散対数問題がBQPにあることを示しました。対照的に、SAT（Groverの検索）で最もよく知られている量子アルゴリズムは、古典アルゴリズムよりも2次の改善しか得られず、NP完全問題は量子コンピューターでは依然として扱いにくいことを示唆しています。AroraとBarakが指摘しているように、BQPにはNPにあることが知られていない問題もあり、2つのクラスは比較できないと推測されます。

これらのNP中間問題がBQPにある理由についての知識/推測はありますが、なぜ（私たちが知る限り）SATはそうではないのですか？他のNP中間問題はこの傾向に従っていますか？特に、BQPのグラフ同型性はどうですか？（これはうまくグーグルしません）。

グラフ同型は、BQPにあることは知られていません。非常に興味深い観察結果は、量子コンピューターが対称グループの非アーベル隠しサブグループ問題を解決できる場合、グラフ同型を解決できることです（因数分解と離散ログはアーベルの隠されたサブグループの問題を使用します。これは、アーベルのグループに量子フーリエ変換を適用することで解決されます。

人々がグラフ同型を解こうと試みた方法の1つは、非アーベル群に量子フーリエ変換を適用することでした。対称群を含む多くの非アーベル群の量子フーリエ変換のアルゴリズムがあります。残念ながら、対称群に量子フーリエ変換を使用してグラフの同型を解決することはできないようです。アルゴリズムの構造に関するさまざまな仮定を考えると、これについては機能しないことを示すかなり多くの論文が書かれています。これらの論文は、おそらくグーグルで見つけたものです。

民間伝承の答えは、一般的なNP完全問題とは異なり、因数分解は「構造化」されているため、中間問題に対してのみ量子優位性を見つけることができた理由です。

おそらくあなたの質問のより簡単なバージョンは、計算の複雑さではなく、ブール関数のクエリの複雑さを見ることです。ここでは、一部の関数（http://arxiv.org/abs/quant-ph/9802049で提供）でのみスーパー多項式の高速化が可能であり、入力が対称な関数ではできないという事実など、いくつかのことを証明できます。および出力（http://arxiv.org/abs/0911.0996で検証）。

これらの結果は、BQP対NPの質問に直接光を当てるものではありませんが、量子優位性がある場所を特定するための有意義なステップだと思います。