トポロジプロパティの複雑さ。

私は、トポロジー（連続体理論に強くフレーバーされたポイントセットトポロジーの散在）のコースを受講するコンピューター科学者です。私は、トポロジプロパティの空間の記述を（単純に）テストする決定問題に興味を持ちました。それらは同相写像まで保存されていました。

たとえば、ノットの属を決定するのはPSPACEであり、NP-Hardであることが知られています。（Agol 2006; Hass、Lagarias、Pippenger 1999）

他の結果は、より多くの、より一般的な感じた：AAマルコフ（の息子マルコフは）次元で同相写像するための2つの空間を試験することが1958年に示した以上が（4-マニホールド用決定不可能を示すことによって）決定不能です。残念なことに、この最後の例は、同相写像の下で保存されている特性ではなく、同相写像の問題自体を扱っているため、私の質問の完璧な例ではありません。$5$

「低次元トポロジー」には、結び目とグラフ理論という大量の仕事があるようです。私は間違いなく低次元トポロジーの結果に興味がありますが、一般化された結果にはもっと興味があります（これらはまれなようです）。

私は平均してNP困難な問題に最も興味を持っていますが、そうではないことがわかっている問題を列挙することを奨励しています。

トポロジー特性の計算の複雑さについてどのような結果が知られていますか？

計算トポロジーには膨大な研究が含まれます。すべての複雑な結果の完全な要約は不可能です。しかし、あなたにちょっとした味を与えるために、あなたの例を拡張させてください。

1911年、マックス・デーンは有限に提示されたグループに対して単語の問題を提起しました。ジェネレーターのアルファベット上の文字列が与えられると、それはアイデンティティ要素を表しますか？1年後、Dehn は方向付け可能な表面の基本的なグループの単語問題のアルゴリズムについて説明しました。同様に、Dehnは、特定の方向付け可能な表面上の特定のサイクルが収縮可能であるかどうかを判断する方法を説明しました。適切に実装されたDehnのアルゴリズムは、時間で実行されます。同じ1912年の論文で、デーンは「すべてのグループの単語の問題を解決することは、すべての数学の問題を解決するのと同じくらい不可能かもしれない」と述べました。$O(n)$

1950年、チューリングは、停止問題（サプライズ、サプライズ）を削減することにより、有限に提示されたセミグループの単語問題が決定不能であることを証明しました。

チューリングの結果に基づいて、マルコフは1951年に、有限で提示された半群の自明でない特性はすべて決定不能であることを証明しました。あるグループにプロパティがあり、他のグループにはない場合、グループのプロパティは重要です。理論的なコンピューター科学者は、部分関数に関する「米の定理」と同様の結果を知っています。

1952年、ノヴィコフは有限に提示されたグループの単語問題が決定不能であることを証明し、それによってデーンの直観が正しいことを証明した。同じ結果は、1954年にブーンと1958年にブリットンによって独立して証明されました。

1955年、アディヤンは、有限で提示されたグループのすべての重要な特性が決定不能であることを証明しました。同じ結果が1956年にラビンによって独立に証明された（はい、そのラビン。）

最後に、1958年、マルコフは、入力としてのグループ表示を前提として、任意の基本グループを使用して2次元セル複合体と4次元多様体を構築するアルゴリズムを説明しました。この結果は、次のような膨大な数のトポロジ問題が決定不能であることを即座に示唆しました。

• 与えられた2次元の複素数の与えられたサイクルは収縮可能ですか？（これは言葉の問題です。）
• 与えられた2複素数は単純に接続されていますか？（「このグループは簡単ですか？」）
• 与えられた4-多様体の与えられたサイクルは収縮可能ですか？
• 与えられた4-多様体は収縮可能ですか？
• 与えられた4多様体は特定の4多様体（マルコフによって構築された）に同相ですか？
• 与えられた5多様体は5球体（または選択した他の固定5多様体）に同相ですか？
• 与えられた6複合体は多様体ですか？

これらの結果の私のお気に入りの帰結は、より最近で、より微妙です：与えられた有限表現されたグループが3次元多様体の基本的なグループであるかどうかは決定できません。 サーストンの幾何化予想のペレルマンの最近の証明は、与えられた3-多様体が自明な基本群を持っているかどうかを決定するアルゴリズムの存在を暗示しています。所与のグループと（@SamNeadが指摘するように、ルーベンスタインおよびカッソンの結果は、指数時間で実行されます。そのアルゴリズム暗示） 3-マニホールド基ではないが、その後、ので、些細なことができないがでありますつまらない。したがって、が3多様体グループであるかどうかを判断できれば、が自明であるかどうかを判断できますが、これは不可能です。Gはπ 1（S 3）G $G$$G$$\pi_1(S^3)$$G$$G$

Ryan BudneyはMathOverFlowで同様の議論を始めました。

https://mathoverflow.net/questions/35946/how-expensive-is-knowledge-knots-links-3-and-4-manifold-algorithms

https://mathoverflow.net/questions/144158/what-is-the-state-of-the-art-for-algorithmic-knot-simplification/145927

ウィキペディアで：

http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Computational_topology