理論計算機科学

理論計算機科学者および関連分野の研究者のためのQ&A

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グラフのスペクトル分割に関するクレジット
場合無向である -regularグラフ及びカーディナリティの頂点のサブセットである、呼び出しエッジ膨張の量をD S ≤ | V | / 2G = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)dddSSS≤ | V| / 2≤|V|/2\leq |V|/2SSS ϕ(S):=Edges(S,V−S)d⋅|S|⋅|V−S|ϕ（S）：=Edges（S、V−S）d⋅|S|⋅|V−S|\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|} ここで、内の1つのエンドポイントとエッジの数であり、とで一方のエンドポイント。そして、拡張エッジの問題は、設定された見つけることですで最小にする。最適セットの展開と呼びます。A BEdges(A,B)Edges（A、B）Edges(A,B)AAABBB| S | ≤ | V | / 2 ϕ （S ）ϕ （G ）SSS|S|≤|V|/2|S|≤|V|/2|S|\leq |V|/2ϕ(S)ϕ(S)\phi(S)ϕ(G)ϕ(G)\phi(G) スペクトル分割アルゴリズムエッジ拡張の問題のためには、固有ベクトル見つけることによって動作しの二番目に大きい固有値のの隣接行列、およびすべての``しきい値セット「」考慮形のすべてのしきい値を超える。我々が許可すればの二番目に大きい固有値であるマトリックス、最良の閾値を設定することをスペクトル分割アルゴリズムショーの分析アルゴリズムを満足することにより見出さA G S { V ：X （V ）≤ T } T λ …
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どのSATの問題は簡単ですか？
充足可能性の「簡単な領域」とは何ですか？言い換えると、SATソルバーが存在することを前提として、満足のいく割り当てを見つけることができるための十分な条件です。 1つの例は、LLLの建設的な証拠のために、各句が他のいくつかの句と変数を共有する場合、それらの行に沿って他の結果はありますか？ 信念伝播の容易な領域に関するかなりの文献がありますが、それらの線に沿って満足できるものはありますか？
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指数関数的に長い解像度証明を必要とするブール式のよく知られたクラス
多くの場合、SATソルバーには、切断面法、変数の伝播、分岐と境界、節の学習、インテリジェントバックトラッキング、または手織りの人間のヒューリスティックが含まれています。しかし、何十年もの間、最高のSATソルバーは解像度証明技術に大きく依存しており、単に支援のために、また解像度スタイルの検索を直接行うために、他のものの組み合わせを使用しています。明らかに、少なくともいくつかのケースでは、どのアルゴリズムでも多項式時間で充足可能性の質問を決定できないことが疑われます。 1985年、Hakenは論文「解像度の難易度」で、CNFでエンコードされた鳩の穴の原理は多項式サイズの解像度の証明を受け入れないことを証明しました。これは解像度ベースのアルゴリズムの難しさについて何かを証明しますが、最先端のソルバーを判断できる基準も提供します-実際、今日のSATソルバーの設計に関する多くの考慮事項の1つは、その実行方法です既知の「ハード」ケース。 指数関数的なサイズの解像度の証明を証明できるブール式のクラスのリストを持つことは、新しいSATソルバーをテストするための「ハード」式を提供するという意味で役立ちます。そのようなクラスを一緒にコンパイルする際にどのような作業が行われましたか？そのようなリストと関連する証拠を含む参照を誰かが持っていますか？回答ごとにブール式のクラスを1つリストしてください。
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次の問題で多項式時間にシーケンスが存在するかどうかを見つけることは可能ですか？
私はしばらくの間、次の問題について考えてきましたが、そのための多項式解を見つけていません。ブルートフォースのみ。私もNP-Completeの問題を無事に削減しようとしています。 問題は次のとおりです。 お持ちソート集合{(A1,B1),(A2,B2),…,(An,Bn)}{(A1,B1),(A2,B2),…,(An,Bn)}\{(A_1, B_1), (A_2, B_2), \ldots, (A_n, B_n)\}の正の整数のペアを。 (Ai,Bi)&lt;(Aj,Bj)⇔Ai&lt;Aj∨(Ai=Aj∧Bi&lt;Bj)(Ai,Bi)&lt;(Aj,Bj)⇔Ai&lt;Aj∨(Ai=Aj∧Bi&lt;Bj)(A_i, B_i) < (A_j, B_j) \Leftrightarrow A_i < A_j \lor (A_i = A_j \land B_i < B_j) (Ai,Bi)=(Aj,Bj)⇔Ai=Aj∧Bi=Bj(Ai,Bi)=(Aj,Bj)⇔Ai=Aj∧Bi=Bj(A_i, B_i) = (A_j, B_j) \Leftrightarrow A_i = A_j \land B_i = B_j 次の操作をペアに適用できますSwap(pair)。ペアの要素を交換するため、はになります(10,50)(10,50)(10, 50)(50,10)(50,10)(50, 10) セット内のペアがスワップされると、セットは自動的に再度ソートされます（スワップされたペアは適切ではなく、セット内の所定の場所に移動されます）。 問題は、あるペアで開始され、次の条件でセット全体をスワップするシーケンスがあるかどうかを確認することにあります。 ペアを交換した後、交換する次のペアは、セット内の後続または先行のペアでなければなりません。 この問題の多項式時間解を見つけるか、NP完全問題をそれに還元することは素晴らしいことです。 注： すでに決定の問題です。シーケンスが何であるかを知りたくない：シーケンスが存在する場合のみ。 ペアを交換した後のセットのソート方法の例 (6, …
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BQPをキャプチャする近似カウント問題
ブラックボックスモデルでは、入力xで BPPマシンM(x,r)M(x,r)M(x,r)出力を決定する問題は、加法誤差1/3（たとえば）でE r M （x 、r ）を決定する近似カウント問題です。。xxxErM(x,r)ErM(x,r)E_r M(x,r) BQPにも同様の問題がありますか？Ken Reganによるこのコメントは、このような問題を示唆しています。 BPPの質問を1つの#P関数に近づけることができますが、BQPで得られるのは2つの#P関数の違いで、それらをとgと呼びます。近似FとGは、別途ごおおよその助けにはならないF - グラムをするときfを- gはゼロに近いです！fffgggfffgggf−gf−gf - gf−gf−gf - g BQPは少し助けになります：入力 BQP質問に対する答えがyesの場合、f （x ）− g （x ）は2 mの平方根に近く、ここでfを定義するカウント述語そしてGは、あなたがの代わりに後メートルバイナリ変数を持っているのx。（絶対値バーはありません。「魔法のように」常にf （x ）&gt; g （x ）になります。BQPの量子回路の一般的な表現では、mxxxf(x)−g(x)f(x)−g(x)f(x) - g(x)2m2m2^mfffgggxxxf(x)&gt;g(x)f(x)&gt;g(x)f(x) > g(x)mmm はアダマールゲートの数になります。）答えがノーの場合、差は0に近くなります。 BQPに可能な限り近いこのような問題を正確に定式化できますか？私は次のようなものを望んでいます：関数へのブラックボックスアクセスが与えられ、gがXをYにマッピングし、...を約束して、ε内でf − gを推定します。f,gf,gf,gXXXYYYf−gf−gf-gεε\varepsilon
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自然な問題の候補はあり
非均一性が実際の計算機能に役立つかどうか知りたいです。に関数があることを示すのは簡単です。計算不可能な関数を取り、言語{ } を考慮してください。、しかし一律に計算可能ではありませんが、これは私が興味を持っているような種類の関数ではありません。F 0 F （N ）：N ∈ ωP/poly−PP/poly−PP/poly - Pfff0f(n):n∈ω0f(n):n∈ω0^{f(n)}:n\in \omega 不均一に計算できることがわかっているが、均一に計算できるかどうかわからない関数があります（または少なくとも、均一に計算できないことは明らかではありません）。 回路の不均一性を、均一に（ほぼ同じ量のリソースで）計算できることが知られていない関数の計算に使用するにはどうすればよいですか？ 上記の計算不可能なもののような病理学的な機能は望まないことに注意してください。人々が本当に計算に興味を持っている自然な関数が欲しいです。 編集：私は知っている。したがって、ランダム化解除の結果ではない答えは、私にとってより興味深いものです。BPP⊆P/polyBPP⊆P/polyBPP \subseteq P/poly 編集2：としてアンドラス・サラモンと剛伊藤は、その回答の中で述べてきた、興味深い問題であるS P A R S Eであることが知られていないP、だから正式に彼らは私が尋ねたものに答えましたが、P / p o l yにいる理由は回路にスパース言語をハードコーディングする可能性があるため、それは私が本当に興味を持っているものに役立ちません。スパースではない言語の方が興味深いでしょう。Sparse⊂P/polySparse⊂P/polySparse \subset P/polySparseSparseSparsePPPP/polyP/polyP/poly
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計算で実数はどのように指定されますか？
これは基本的な質問かもしれませんが、私はナッシュ平衡計算や線形縮退テストなどのテーマに関する論文を読んで理解しようとしており、入力として実数がどのように指定されているのかわかりませんでした。たとえば、LDTに特定の多項式の下限があると記載されている場合、実数は入力として扱われるときにどのように指定されますか？
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教会の定理とゲーデルの不完全性定理
私は最近、計算可能性に関してさまざまな論理学者や数学者によって行われた画期的な研究のアイデアや歴史のいくつかを読んでいます。個々の概念はかなり明確ですが、それらの相互関係とそれらがすべてリンクされている抽象レベルをしっかり把握しようとしています。 教会の定理（あるいは、アロンゾ教会とアランチューリングによるヒルベルトの突発的問題の独立した証明）は、一般に、公式システムの特定の数学的ステートメントが真か偽かを計算できないことを証明したことを知っています。私が理解しているように、チャーチ・チューリングの論文は、チャーチのラムダ計算とチューリング機械の間の等価性（同型）のかなり明確な説明を提供します。（注：私が知る限り、Turingの証拠は停止の問題が決定不能であるという事実を利用しています。間違っている場合は修正してください。） 現在、ゲーデルの最初の不完全性定理は、十分な算術能力を備えた一貫した形式システムのすべてのステートメントがこのシステム内で証明または反証（決定）されるわけではないことを示しています。多くの点で、これは教会の定理とまったく同じことを言っているように見えます。ラムダ計算と旋盤はどちらも事実上一種の形式的なシステムです。 しかし、これは私の全体論的な解釈であり、誰かが詳細に光を当てることを望んでいました。これらの2つの定理は事実上同等ですか？観察すべき微妙な点はありますか？これらの理論が本質的に同じ普遍的真実を異なる方法で見ている場合、なぜそれらはそのような異なる角度からアプローチされたのですか？（ゴーデルの証明と教会の証明の間には多かれ少なかれ6年がありました）。最後に、形式システムの証明可能性の概念（証明計算）は、再帰理論の計算可能性の概念（チューリングマシン/ラムダ計算）と同一であると言えますか？
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量子近似アルゴリズム
一般に、量子コンピューターがNP完全問題を効率的に解決できるとは考えられていません。古典的な場合、そのような問題に取り組むための1つのアプローチは、近似アルゴリズムを使用することです。量子性が古典的近似法よりも大幅に高速化する量子コンピューティングを使用した近似アルゴリズムに関する研究はありますか？ 「有意」とは、必ずしも指数関数的ではなく、対応する正確なアルゴリズムよりも大きいことを意味します。言い換えれば、私たちのアルゴリズムが正確な解を生み出すという要件を緩和することが、量子アルゴリズムに大きな利点をもたらすかどうかに興味があります。
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PLANAR SATの準指数アルゴリズムは知られていますか？
ツリー幅が最大であるため、一般的なグラフの指数関数的ないくつかのNP困難な問題は、平面グラフ上の準指数ですそして、それらはツリー幅で指数関数的です。4.9 | V（G ）|−−−−−−√4.9|V(G)|4.9 \sqrt{|V(G)|} 基本的に、NP完全なPLANAR SATの準指数アルゴリズムがあるかどうかに興味があります。 ましょう変数のCNF式でありxはIと I番目の句であるcは、I。ϕϕ\phiバツ私xix_i私iic私cic_i 入射グラフのp。5 のφは、頂点にあるV （G ）= { X I } ∪ { C I } とエッジ（X I、C I） IFF X I ∈ C Iまたは¬ X I ∈ C I。GGGϕϕ\phiV（G ）= { x私} ∪ { c私}V(G)={xi}∪{ci}V(G)=\{x_i\} \cup \{c_i\}（x私、c私）(xi,ci)(x_i,c_i)バツ私∈ C私xi∈cix_i \in c_i¬ X私∈ C私¬xi∈ci\lnot x_i …
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ラビン・カープvsカープ・ラビン
Wikipediaの賢明な他の編集者は、Rabin-Karpの名前がより頻繁に使用されることに基づいて、Rabin-Karp アルゴリズムに関するWikipediaの記事を、Karp-Rabinアルゴリズムと呼ぶべきものに移動するという私の要求を拒否しました（偽、Googleの学者の数で言えば）、または大声で聞こえる（本当に？）元の出版物の名前の順序はKarpとRabinで、通常は理論論文用であるため、アルファベット順で、それが私が移動を要求した理由です。 Rabin–Karpの名前の順序付けの1つの主要な提案者は、Cormen–Leiserson–Rivest–Stein Introduction to Algorithms教科書です。ウィキペディアの結果は、重要な新しい証拠がない限り何らかの形で変わる可能性は低く、RabinまたはKarpがクレジットを重視する可能性は低いようですが、今、私は興味があります：読者はこの歴史を覚えており、 CLRS（または他の誰か）がRabin–Karpの名前順を選択した理由の説明ϵϵ\epsilon
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重要な3-SAT密度の現在の最も厳しい境界
臨界3充足（3-SAT）密度興味があります。そのようなαが存在すると推測されます：ランダムに生成された3-SAT節の数が（α + ϵ ）n以上である場合、それらはほとんど確実に不満足です。（ここで、εは任意の小さな定数であり、nは変数の数である。）の数である場合（α - ε ）N以下、それらはほぼ確実に充足されています。αα\alphaαα\alpha(α+ϵ)n(α+ϵ)n(\alpha + \epsilon) nϵϵ\epsilonnnn(α−ϵ)n(α−ϵ)n(\alpha - \epsilon) n Elitza Nikolaeva Manevaによる制約充足問題の論文信念伝播アルゴリズムは、情報理論で知られている信念伝播の角度から問題に挑戦します。13ページでは、αが存在する場合、と表示されます。3.52&lt;α&lt;4.513.52&lt;α&lt;4.513.52<\alpha<4.51αα\alpha 最もよく知られている境界は何ですか？αα\alpha
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大きさの木の平均身長で正規木言語はあるの
本TATAのように、通常のツリー言語を定義します：これは、非決定論的有限ツリーオートマトン（第1章）で受け入れられるツリーのセット、または同様に、通常のツリー文法（第2章）で生成されるツリーのセットです。どちらの形式も、よく知られている文字列の類似物とよく似ています。 大きさの木の平均身長で正規木言語はあるのでもないΘ （nは）もΘ （√nnnΘ （n ）Θ(n)\Theta(n)？Θ （n−−√）Θ(n)\Theta(\sqrt{n}) 明らかに、ツリーの高さがそのサイズで線形であるようなツリー言語があります。そして本の中で分析組み合わせ論サイズの二分木という例が示され平均身長持つ2 √nnn。上記の本の命題VII.16（p.537）を正しく理解すれば、平均高さがΘ（ √2個のπn−−−√2πn2\sqrt{ \pi n}、つまり、ツリー言語がいくつかの追加条件を満たしている単純な種類のツリーでもあるもの。Θ （n−−√）Θ(n)\Theta(\sqrt{n}) だから、平均的な高さが異なる通常のツリー言語があるのか​​、それとも通常のツリー言語の真の二分法があるのか​​と思っていました。 注：この質問はComputer Scienceで以前に質問されましたが、3か月以上回答されていません。質問が古すぎて移行できないため、また質問にまだ関心があるため、ここに再投稿したいと思います。元の投稿へのリンクはこちらです。
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フェイト・トンプソンの定理の形式化に興味深いアルゴリズムはありますか？
George Gonthierと彼の協力者たちは、奇数次定理の定式化を終えたようです。 4色の定理に関する以前の研究で、Gonthierは、特に正式な検証に適した新しいアルゴリズム（主にBDDとグラフアルゴリズムのバリアント）を発明しました。彼は有限群理論の研究でこの小規模な反射スタイルの検証を使い続けていると言っているので、この開発中にどのような新しいアルゴリズムのトリックが開発されたのだろうか？
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誰が最初にモンテカルロアルゴリズムを使用してPiを計算することを提案しましたか？
18世紀のBuffonの針の実験は誰もが知っていると思います。これはを計算する最初の確率的アルゴリズムの1つです。ππ\pi コンピューターでのアルゴリズムの実装では、通常または三角関数を使用する必要があります。これは、それらが切り捨てられたシリーズとして実装されている場合でも、目的を無効にします。ππ\pi この問題を回避するために、よく知られた拒否方法アルゴリズムがあります。単位正方形に座標を描き、それらが単位四分円に属しているかどうかを確認します。これは、2つの一様な実数とを（0,1）に描画し、それらを場合にのみカウントすることにあります。最終的に、保持されている座標の数を座標の総数で割ると、近似値になります。、Y 、X 2 + Y 2 &lt; 1個のπバツxxyyyバツ2+ y2&lt; 1x2+y2&lt;1x^2+y^2 < 1ππ\pi この2番目のアルゴリズムは通常、Buffonの針として渡されますが、かなり異なると考えられています。残念ながら、私はそれを誰が始めたのか追跡することができませんでした。誰が、いつ、このアイデアが生まれたのかについての情報（文書化されている、または最悪の場合は文書化されていない）を持っていますか？
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