グラフのスペクトル分割に関するクレジット

場合無向である -regularグラフ及びカーディナリティの頂点のサブセットである、呼び出しエッジ膨張の量をD S ≤ | V | /$G=(V,E)$$d$$S$$\leq |V|/2$$S$

$\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|}$

ここで、内の1つのエンドポイントとエッジの数であり、とで一方のエンドポイント。そして、拡張エッジの問題は、設定された見つけることですで最小にする。最適セットの展開と呼びます。A $Edges(A,B)$$A$$B$| S | ≤ | V | / 2 ϕ （S ）ϕ （G $S$$|S|\leq |V|/2$$\phi(S)$$\phi(G)$

スペクトル分割アルゴリズムエッジ拡張の問題のためには、固有ベクトル見つけることによって動作しの二番目に大きい固有値のの隣接行列、およびすべての``しきい値セット「」考慮形のすべてのしきい値を超える。我々が許可すればの二番目に大きい固有値であるマトリックス、最良の閾値を設定することをスペクトル分割アルゴリズムショーの分析アルゴリズムを満足することにより見出さA G S { V ：X （V ）≤ T } T λ 2 $x$$A$$G$$S$$\{ v : x(v) \leq t \}$$t$$\lambda_2$SS$\frac 1d \cdot A$$S_{SP}$

$\phi(S_{SP}) \leq 2\sqrt {\phi(G)}$

チーガーの不等式から続くもの

$\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

そして

$1-\lambda_2 \leq 2 \phi(G)$

そのような主張をする最初の論文は何ですか？アイデアの根拠となる論文は何ですか？ここに私が持っているものがあります：

• N.アロンとVDミルマン。、グラフの等周不等式、および超コンセントレータ、Journal of Combinatorial Theory、シリーズB、1985、38（1）：73-88 $\lambda_1$

  「単純な」チーガーの不等式の精神で結果を証明しますが、エッジ拡張ではなく頂点拡張のためです。エッジ展開と固有値の間の関係は、Cheegerによって研究された問題の離散バージョンであることを認識する $1-\lambda_2 \leq 2\phi(G)$

  J.チーガー。ラプラシアンの最小固有値の下限。1970年の分析の問題。

• N.アロン。固有値とエキスパンダー。コンビナトリカ。6（2）：83-96、1986。

  困難なチーガーの不等式の精神で結果を証明しますエッジ拡張ではなく頂点拡張のため。 $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

• A.シンクレア、M。ジェラム。近似カウント、均一生成、マルコフ連鎖の高速混合。情報と計算82：93-133、1989（会議バージョン1987）

  上記のCheeger不等式を証明します。（彼らの論文は、時間可逆マルコフ連鎖の_コンダクタンス_を研究しており、これは通常のグラフでは_エッジ展開_に等しい。）彼らは、アロンとミルマンの仕事とアロンの仕事の功績を称えている。彼らはまた、通常のグラフでの混合時間とエッジ拡張の間に関連する境界をAldousに与えています。

• Mミハイル。マルコフ連鎖のコンダクタンスと収束―エキスパンダーの組み合わせ処理 FOCS 1989、ページ526-531

  論文の主なポイントは、その技術が非時間可逆マルコフ連鎖に適用されることですが、通常の無向グラフに適用される場合、以前の作業よりも利点があります：任意のスペクトル分割アルゴリズムを実行すると、ベクトルでは、不等式が得られますここで、はベクトルのレイリー商です。アロン、ミルマン、シンクレア、ジェラムの議論には、実際の固有ベクトルが必要です。これは、近似固有ベクトルを使用する高速スペクトル分割アルゴリズムに関連しています。 λ$\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda')}$$\lambda'$

グラフ分割アルゴリズムとして、上記の結果のアルゴリズムの重要性が最初に認識されるのはいつですか？上記の論文にはそのような議論はありません。

それは最初の論文は、アイデアのこのセット導入しているようです（代数的不変使用して、グラフのバウンド様々な性質にグラフラプラシアンの二番目に小さい固有値、）グラフ理論には、チェコスロバキア数学におけるフィードラーの「グラフの代数的接続性」でしたジャーナル。それは1973年に登場し、多様体を扱ったチーガーの論文（1970年）とほぼ同時に登場しました。その点でグラフと多様体の類似点を最初に観察したのは誰なのかわかりません。λ 2は、時々 、フィードラー番号と呼ばれています。$\lambda_2$$\lambda_2$

興味深いことに、フィードラーの論文の最後に、1971年のグラフ上のラプラシアンの固有値というタイトルのアンダーソンとモーリーによる独立した技術報告書があり、明らかに同様のアイデアがあったことが指摘されています。ただし、アンダーソンとモーリーによる同じタイトルの論文は、1985年にのみ線形代数と多重線形代数に登場しました。

私がその時代について覚えている追加の参考文献：

1）Diaconis and Stroock、マルコフ連鎖の固有値の幾何学的境界、The Annals of Applied Probability、1991; しかし、1990年にプレプリントを手に入れたことを覚えています。このペーパーでは、

2）Dodziuk、差分方程式、特定のランダムウォークの等周不等式と過渡性、米国数学学会のトランザクション、1984年。

また、当時のシンクレアとジェラムへの重要な「アルゴリズムの仲間」論文は、

3）Dyer Frieze Kannan、凸体の体積を近似するためのランダム多項式時間アルゴリズム、STOC89。もちろん、ここでの結果はSJの上に構築されました。