教会の定理とゲーデルの不完全性定理

私は最近、計算可能性に関してさまざまな論理学者や数学者によって行われた画期的な研究のアイデアや歴史のいくつかを読んでいます。個々の概念はかなり明確ですが、それらの相互関係とそれらがすべてリンクされている抽象レベルをしっかり把握しようとしています。

教会の定理（あるいは、アロンゾ教会とアランチューリングによるヒルベルトの突発的問題の独立した証明）は、一般に、公式システムの特定の数学的ステートメントが真か偽かを計算できないことを証明したことを知っています。私が理解しているように、チャーチ・チューリングの論文は、チャーチのラムダ計算とチューリング機械の間の等価性（同型）のかなり明確な説明を提供します。（注：私が知る限り、Turingの証拠は停止の問題が決定不能であるという事実を利用しています。間違っている場合は修正してください。）

現在、ゲーデルの最初の不完全性定理は、十分な算術能力を備えた一貫した形式システムのすべてのステートメントがこのシステム内で証明または反証（決定）されるわけではないことを示しています。多くの点で、これは教会の定理とまったく同じことを言っているように見えます。ラムダ計算と旋盤はどちらも事実上一種の形式的なシステムです。

しかし、これは私の全体論的な解釈であり、誰かが詳細に光を当てることを望んでいました。これらの2つの定理は事実上同等ですか？観察すべき微妙な点はありますか？これらの理論が本質的に同じ普遍的真実を異なる方法で見ている場合、なぜそれらはそのような異なる角度からアプローチされたのですか？（ゴーデルの証明と教会の証明の間には多かれ少なかれ6年がありました）。最後に、形式システムの証明可能性の概念（証明計算）は、再帰理論の計算可能性の概念（チューリングマシン/ラムダ計算）と同一であると言えますか？

まず、Kleeneの「メタ数学」をこれらのトピックに関する優れた本として読むことをお勧めします。Odifreddiの「Classical Recursion Theory」のボリュームIの最初の2章も、これらの概念間の関係を理解するのに役立ちます。

教会の定理（むしろ、アロンゾ教会とアランチューリングによるヒルベルトの突発的問題の独立した証明）は、一般に、公式システムの特定の数学的ステートメントが真か偽かを計算できないことを証明したことを知っています。

一次論理の定理のセットは決定できないという教会の定理を参照していると思います。言語が最初の順序であることに注意することが重要です。

私が理解しているように、チャーチ・チューリングの論文は、チャーチのラムダ計算とチューリング・マシン間の等価性（同型）のかなり明確な説明を提供します。

いいえ。ラムダ計算可能性とチューリング計算可能性がKleeneの定理である場合の等価性。論文ではありません。それは教会の論文を支持する証拠と考えられています。

注：私が知る限り、Turingの証明は、停止の問題が決定できないという事実を利用しています。私が間違っている場合は修正してください。

現在、ゲーデルの最初の不完全性定理は、一貫した正式なシステム内のすべてのステートメントがこのシステム内で証明されるとは限らないと述べています。多くの点で、これは教会の定理とまったく同じことを言っているように見えます。ラムダ計算と旋盤はどちらも事実上一種の形式的なシステムです。

$\omega$$\varphi$$\varphi$$\lnot \varphi$

これは同じことを述べていません。理論の定理が決定不能であることについては何も述べていません。

しかし、これは私の全体論的な解釈であり、誰かが詳細に光を当てることを望んでいました。これらの2つの定理は事実上同等ですか？注意すべき点はありますか？これらの理論が本質的に同じ普遍的真実を異なる方法で見ている場合、なぜそれらはそのような異なる角度からアプローチされたのですか？（ゴーデルの証明と教会の証明の間には多かれ少なかれ6年がありました）。

長年にわたって、ゲーデルの定理（および同様の定理）の乱用が数多くありました。それらの解釈を行う際には非常に注意する必要があります。私が見た限りでは、虐待は通常、定理にある条件について言及するのを忘れたり、他の信念によって定理を組み合わせたりした結果です。注意深く見ると、これらの定理は関連しているものの同等ではないことがわかります。

最後に、形式システムの証明可能性の概念（証明計算）は、再帰理論の計算可能性の概念（チューリングマシン/ラムダ計算）と同一であると言えますか？

「同一」とはどういう意味かわかりません。確かに、計算可能性と証明可能性の間には多くの関係があります。これらが同一であることの意味を明確にすれば、より役立つコメントができるかもしれません。

更新

$L$$T$$Thm(T)$$T$$\lnot Thm(T)$$T$$True$$False$$True$$False$$L = True \cup False$

$Thm(T) \cup \lnot Thm(T)$$L$$T$

$Thm(T)$$Thm(T)$

形式システムの証明可能性と計算可能性の関係について。1つは次のとおりです。システムが有効である場合、その中の派生式のセットはreであり、システムは文法の特殊なケースです。文法は、チューリングマシンの計算可能性に相当する計算可能の概念を定義する別の方法です。

フォーマルシステムにおける証明可能性の概念（証明計算）は、再帰理論における計算可能性の概念（チューリングマシン/ラムダ計算）と同一であると言えますか？

これらは非常に似ていますが、同一ではありません。証明計算の一部のステップは計算不可能な操作を表している可能性があるためです。

$ZFC$$\wp(N)$

同様に、ゲーデルの完全性定理は、1次論理の有効な式には証明があることを示していますが、Traktenbrotの定理は、有限モデルでは、1次式の有効性は決定不能であることを示しています。

したがって、有限証明は必ずしも計算可能な操作に対応するとは限りません。

これはあなたが質問していることとはまったく異なりますが、同じ流れであり、あなた（およびあなたの質問の他の読者）が興味を持っていることを願っています。プログラムのカテゴリは、特定の意味で、建設的な証明のカテゴリと同型であると言う、カリー-ハワード通信を必ず読んでください。（これは、他の答えとは異なるレベルで証明と計算可能性について議論しています。）

要するに、あなたがとる観点からあなたの質問に答えようとします。また、2つの定理を異なる方法で関連付けようとしています。

ゲーデルの最初の不完全性定理は、十分な演算能力を備えた一貫した形式システムには、その証明または否定の証拠が存在しないようなステートメントPがあると述べています。これは、理論の定理のセットに決定アル​​ゴリズムがないことを意味するものではありません。これは、PもPも定理ではないと言うでしょう。Church-Turingの定理の結果は、そのようなアルゴリズムは存在しないと述べています。それもカヴェの答えの核心であり、もっと明確に説明したいと思っています。

私は今、教会チューリングの定理がゲーデルの定理を暗示していることを証明しようとします。どこで、私が間違っているか説明してください。定理のセットThmは部分的に決定可能であり、Rはそれを認識するプログラムであると仮定します（つまり、入力がThmにある場合は「yes」で停止し、そうでない場合は実行を継続します）。これを使用して新しいアルゴリズムを作成しましょう。ステートメントQが与えられ、それが証明可能かどうかを確認するには、実行をインターリーブし、最初の停止時に停止し、「No」 「not Q」が証明され、それ以外の場合は「Yes」が証明されました。これは計算可能なアルゴリズムを提供します。すべてのステートメントが証明または反証できるという矛盾により、このアルゴリズムはEntscheidungsproblemを解決しますが、それはばかげています！したがって、できるステートメントが必要です。